Considere a função: f(x, y)=lx^3+y^3x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0).
© Mostre que f(x, y) é diferenciável em (0,0);

Passo 1

Então, o exercício quer que a gente mostre se a função
f(x,y)= dfracx^3+y^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
é diferenciável em Du f(0,0)=nabla f(0,0)cdot u .
Conteúdo: derivadas parciais, derivadas direcionais e critério de diferenciabilidade em .
O que vamos precisar:
  1. Calcular as derivadas parciais e .
  2. Usar o fato de que, se fosse diferenciável em , então para qualquer direção unitária teríamos

Passo 2

Calcular as derivadas parciais em fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0dfrach^3+0h^2+0-0h =limhto0hh =1 .
Por definição,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-0k =limkto0dfrac0+k^30+k^2k =limkto0kk =1
Do mesmo jeito,
Logo .

Passo 3

Lembrando o critério de diferenciabilidade:
se Du f(0,0);=;nabla f(0,0)cdot u for diferenciável em , então para qualquer vetor unitário
Aqui é a derivada direcional de em na direção .

Passo 4

Escolhe a direção Du f(0,0) =limtto0f(tcdot1,tcdot1)-f(0,0)t =limtto0f(t,t)t =limtto0dfract^3+t^3t^2+t^2t =limtto0tfrac2t^32t^2t =limtto0tt =1 .
  1. Calcula a derivada direcional diretamente:
nabla f(0,0)cdot u=(1,1)cdot1raiz2(1,1) =1+1raiz2 =2raiz2 =raiz2approx1,414ldots
  1. Agora calcula pelo gradiente:
Como difere de , a condição de diferenciabilidade falha.

Resposta

A função não é diferenciável em .

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