Dada a função: F(x, y, z)=4 x^2-y^2+z^2
(b) Determine o plano tangente à S no ponto P0=(1,1,1) e as equações paramétricas da reta normal à S em P0;

Passo 1

Beleza, então o enunciado é o seguinte: temos a função
F(x,y,z) ;=; 4x^2 ;-; y^2 ;+; z^2
e definimos a superfície como sendo o nível dessa função igual a um valor constante (no nosso caso veremos qual é). O ponto dado é .
Conteúdo envolvido: cálculo multivariável – derivadas parciais, vetor gradiente, plano tangente a uma superfície de nível e reta normal. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. calcular as derivadas parciais de ,
  2. montar o vetor gradiente ,
  3. avaliar em ,
  4. usar a fórmula do plano tangente a um nível ,
  5. e, por fim, escrever a reta normal com vetor direção igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos ver qual é a constante do nível. Avaliando em F(1,1,1) ;=; 4cdot1^2 ;-;1^2;+;1^2 ;=;4 -1 +1 = 4 :
S: ;F(x,y,z)=4 Long<=ftrightarrow 4x^2 - y^2 + z^2 = 4
Então a superfície é

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas parciais de partial Fpartial x = 8x, partial Fpartial y = -2y, partial Fpartial z = 2z :
nabla F(x,y,z) = l(8x,;-2y,;2zr)
O vetor gradiente é

Passo 4

A gente avalia nabla F(1,1,1) = (8cdot1,;-2cdot1,;2cdot1) = (8,,-2,;2) em nabla F(P0)cdot l((x,y,z)-(1,1,1)r) = 0 :
(8,,-2,,2)cdot(x-1,;y-1,;z-1) = 0
Esse vetor é normal à superfície em 8(x-1) ;-;2(y-1) ;+;2(z-1) = 0 . A equação do plano tangente a 8x - 8 ;-;2y +2 ;+;2z -2 = 0 ;Longrightarrow; 8x - 2y +2z -8 = 0 em 4x - y + z -4 = 0 usa
Ou seja,
Fazendo o produto escalar:
Distribuindo:
Se preferir, divide tudo por 2:

Passo 5

A reta normal passa por x(t) = 1 + 8,t, y(t) = 1 - 2,t, z(t) = 1 + 2,t e tem vetor direção igual a . Logo, em forma paramétrica:

Resposta

Plano tangente:
4x - y + z - 4 = 0
Reta normal (paramétrica):
x = 1 + 8t, y = 1 - 2t, z = 1 + 2t

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