Dada a função:
(b) Determine o plano tangente à
no ponto
e as equações paramétricas da reta normal à
em
;
(b) Determine o plano tangente à
Passo 1
Beleza, então o enunciado é o seguinte: temos a função
e definimos a superfície
como sendo o nível dessa função igual a um valor constante (no nosso caso veremos qual é). O ponto dado é
.
Conteúdo envolvido: cálculo multivariável – derivadas parciais, vetor gradiente, plano tangente a uma superfície de nível e reta normal. Para resolver, a gente vai precisar:
- calcular as derivadas parciais de
, - montar o vetor gradiente
, - avaliar
em , - usar a fórmula do plano tangente a um nível
, - e, por fim, escrever a reta normal com vetor direção igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver qual é a constante do nível. Avaliando em
:
Então a superfície é
Passo 3
Agora, calculamos as derivadas parciais de
:
O vetor gradiente é
Passo 4
A gente avalia
em
:
Esse vetor é normal à superfície em
. A equação do plano tangente a
em
usa
Ou seja,
Fazendo o produto escalar:
Distribuindo:
Se preferir, divide tudo por 2:
Passo 5
A reta normal passa por
e tem vetor direção igual a
. Logo, em forma paramétrica:
Resposta
Plano tangente:
Reta normal (paramétrica):