Considere a função: f(x, y)=lx^3+y^3x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0).
(b) Determine fx(x, y) e fy(x, y);

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é encontrar as derivadas parciais de
f(x,y)= x^3+y^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
Conteúdo: derivada parcial (como a derivada comum, mas segurando uma variável fixa) e definição de derivada parcial no ponto de descontinuidade. Para a parte geral usamos a regra do quociente; no ponto (0,0) usamos a definição limite.

Passo 2

Derivadas para (x,y)neq(0,0) via regra do quociente.
Defina
u(x,y)=x^3+y^3, v(x,y)=x^2+y^2
Então, mantendo y fixo,
ux=3x^2, vx=2x
e a regra do quociente diz
fx(x,y)=v,ux-u,vxv^2 =(x^2+y^2)cdot3x^2-(x^3+y^3)cdot2x(x^2+y^2)^2
No numerador:
3x^2(x^2+y^2)-2x(x^3+y^3) =3x^4+3x^2y^2-2x^4-2xy^3 =x^4+3x^2y^2-2xy^3
Logo, para (x,y)neq(0,0),
fx(x,y)=x^4+3x^2y^2-2xy^3(x^2+y^2)^2
Do mesmo jeito, mantendo x fixo:
uy=3y^2, vy=2y,
fy(x,y) =(x^2+y^2),3y^2-(x^3+y^3),2y(x^2+y^2)^2 =3x^2y^2+y^4-2x^3y(x^2+y^2)^2

Passo 3

Agora em (0,0) usamos a definição
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h^3+0h^2+0-0h =limhto0hh=1
Analogamente,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-0k =limkto0kk=1

Resposta

As derivadas parciais são
fx(x,y)= dfracx^4+3x^2y^2-2xy^3(x^2+y^2)^2,&(x,y)neq(0,0),[1em] 1,&(x,y)=(0,0), fy(x,y)= dfrac3x^2y^2+y^4-2x^3y(x^2+y^2)^2,&(x,y)neq(0,0),[1em] 1,&(x,y)=(0,0)

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