Dada a função:
definida em
(a) Encontre os pontos críticos de
interiores a
e classifique-os;
(a) Encontre os pontos críticos de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A função é
e o domínio é o disco fechado
.
Conteúdo da matéria: derivadas parciais, gradiente, pontos críticos e teste da matriz Hessiana para classificação (mínimo, máximo ou sela).
O que precisamos:
Conteúdo da matéria: derivadas parciais, gradiente, pontos críticos e teste da matriz Hessiana para classificação (mínimo, máximo ou sela).
O que precisamos:
- Calcular as derivadas parciais
e . - Resolver
e para achar os críticos dentro de . - Montar a matriz Hessiana e usar o determinante dela para classificar cada ponto.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais:
O ponto crítico é onde
e
simultaneamente.
Passo 3
Resolver o sistema
Da segunda equação
vem ou
ou
.
- Se
, a primeira dá , ou seja , mas isso está fora do disco ( ), então descartamos. - Se
, a primeira dá , ou seja , então .
Verificamos queatendem , então são críticos internos.
Passo 4
Agora a Hessiana:
[
H =
]
O determinante é
Como nos pontos críticos
, isso vira
.
- Para
: e ⇒ mínimo local. - Para
: e ⇒ máximo local.
Resposta
Pontos críticos internos e classificação: