Dada a função: f(x, y)=x^3+x y^2-9 x definida em D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 4
(a) Encontre os pontos críticos de f(x, y) interiores a D e classifique-os;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A função é
f(x,y)=x^3 + x,y^2 - 9x
e o domínio é o disco fechado .
Conteúdo da matéria: derivadas parciais, gradiente, pontos críticos e teste da matriz Hessiana para classificação (mínimo, máximo ou sela).
O que precisamos:
  1. Calcular as derivadas parciais e .
  2. Resolver e para achar os críticos dentro de .
  3. Montar a matriz Hessiana e usar o determinante dela para classificar cada ponto.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
fx = partialpartial x(x^3 + x y^2 -9x) = 3x^2 + y^2 -9,
fy = partialpartial y(x^3 + x y^2 -9x) = 2x,y
O ponto crítico é onde e simultaneamente.

Passo 3

Resolver o sistema
3x^2 + y^2 -9 = 0, 2xy = 0
Da segunda equação vem ou ou .
  • Se , a primeira dá , ou seja , mas isso está fora do disco ( ), então descartamos.
  • Se , a primeira dá , ou seja , então .
    Verificamos que atendem , então são críticos internos.

Passo 4

Agora a Hessiana:
[
H = H = fxx & fxy[6pt] fyx & fyy = 6x & 2y 2y & 2x

D = fxxfyy - (fxy)^2 = (6x)(2x) - (2y)^2 = 12x^2 - 4y^2 .
]
O determinante é
Como nos pontos críticos , isso vira .
  • Para : e mínimo local.
  • Para : e máximo local.

Resposta

Pontos críticos internos e classificação:
(raiz3,,0) mínimo local, (-raiz3,,0) máximo local íá

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