Dada a função: f(x, y)=x^3+x y^2-9 x definida em D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 4
(b) Encontre os máximos e mínimos absolutos de f(x, y) na fronteira de D.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis
f(x,y) = x^3 + x,y^2 - 9x
e um domínio que é o disco . A parte (b) só quer os máximos e mínimos ABSOLUTOS de na BORDA de , ou seja, quando . O conteúdo é otimização com restrição, e a gente vai usar parametrização de círculo e derivadas de funções de uma variável.

Passo 2

Parametriza a fronteira (o círculo de raio 2) assim:
x = 2cos t, y = 2sin t, tin[0,2pi]
Agora substitui isso em g(t) = f(2cos t,,2sin t) pra virar uma função de :

Passo 3

Calcula g(t) = (2cos t)^3 + (2cos t)(2sin t)^2 ;-;9(2cos t) :
(2cos t)^3 = 8cos^3 t, (2cos t)(2sin t)^2 = 2cos tcdot4sin^2 t = 8cos t,sin^2 t, -9(2cos t) = -18cos t
Desenvolvendo:
g(t) = 8cos^3 t + 8cos t,sin^2 t - 18cos t
Então

Passo 4

Repara que g(t) = 8cos t - 18cos t = -10cos t .
Então

Passo 5

Pra achar extremos de g'(t) = -10(-sin t) = 10sin t , derivamos:
Zera quando , ou seja . Avaliando:
  • : .
  • : .
  • repete .

Resposta

Máximo absoluto na fronteira: .
Mínimo absoluto na fronteira: .

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