Dada a função:
definida em
(b) Encontre os máximos e mínimos absolutos de
na fronteira de
.
(b) Encontre os máximos e mínimos absolutos de
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis
e um domínio
que é o disco
. A parte (b) só quer os máximos e mínimos ABSOLUTOS de
na BORDA de
, ou seja, quando
. O conteúdo é otimização com restrição, e a gente vai usar parametrização de círculo e derivadas de funções de uma variável.
Passo 2
Parametriza a fronteira (o círculo de raio 2) assim:
Agora substitui isso em
pra virar uma função de
:
Passo 3
Calcula
:
Desenvolvendo:
Então
Passo 4
Repara que
.
Então
Então
Passo 5
Pra achar extremos de
, derivamos:
Zera quando
, ou seja
. Avaliando:
-
: . -
: . -
repete .
Resposta
Máximo absoluto na fronteira:
.
Mínimo absoluto na fronteira: .
Mínimo absoluto na fronteira: