Considere a função
;
Faça um esboço do gráfico da função no intervalo
.
Quantas iterações são necessárias para se obter uma aproximação para a raiz no intervalo [4,8], utilizando o método da bissecção
,
Utilizando o método da falsa posição, realize duas iterações considerando [4,8] como intervalo inicial.
Considerando o resultado obtido na letra c), calcule o erro relativo.
Faça um esboço do gráfico da função no intervalo
Quantas iterações são necessárias para se obter uma aproximação para a raiz no intervalo [4,8], utilizando o método da bissecção
Considerando o resultado obtido na letra c), calcule o erro relativo.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é trabalhar com a função quadrática
e a gente vai:
- Desenhar um esboço do gráfico em [4,8].
- Calcular quantas iterações do método da bissecção são necessárias pra chegar em uma raiz nesse intervalo com ε=10^{-7}.
- Fazer duas iterações do método da falsa posição (regula falsi) usando [4,8] como ponto de partida.
- Com o resultado da letra c), achar o erro relativo.
Conteúdo-chave: parabola (vértice, coeficiente líder), método da bissecção (fórmula de erro), falsa posição (fórmula de ponto aproximado), definição de erro relativo.
Passo 2
Desenhando a parábola em [4,8]:
- A “cara” da parábola é para cima (coeficiente de x^2 é +1).
- Vértice em x_v = \frac{7}{2}=3{,}5 (fora do nosso intervalo), então em [4,8] a função só cresce.
- Calcula uns pontos básicos:
- f(4)=4^2-7·4+3=16-28+3=-9
- f(5)=25-35+3=-7
- f(6)=36-42+3=-3
- f(7)=49-49+3=3
- f(8)=64-56+3=11
- Esboço: parabola subindo de (4,−9) pra (8,11), cruzando o eixo x entre 6 e 7.
Passo 3
Método da bissecção – número de iterações n:
A cada iteração o erro máximo é . Queremos
A cada iteração o erro máximo é
\Rightarrow 2^n\ge \frac{4}{10{-7}}=4\cdot107
][
\Rightarrow n\ge \log_2(4\cdot107)=\log_2(4)+\log_2(107)\approx 2 + \frac{7}{\log_{10}(2)}\approx 25{,}22
]
]
Como n tem que ser inteiro, precisamos de n=26 iterações.
Passo 4
Método da falsa posição (duas iterações):
Fórmula do ponto aproximado:
Fórmula do ponto aproximado:
Iteração 1 com a_0=4, b_0=8:
- f(a_0)=-9, f(b_0)=11
Como f(5,8)≈-3,96 (negativo), o intervalo vira [5,8].
Iteração 2 com a_1=5{,}8, b_1=8:
- f(a_1)≈-3,96, f(b_1)=11
Passo 5
Erro relativo:
- Raiz exata “boa” é
- Erro relativo =
:
Resposta
a) Gráfico: parábola crescente em [4,8], passando por (4,−9), (8,11) e cruzando o eixo x entre 6 e 7.
b) 26 iterações (bissecção com ε=10^{-7}).
c) Falsa posição: primeira iteração x_1=5{,}8, segunda x_2≈6{,}3816.
d) Erro relativo ≈0{,}0244 (≈2{,}44%).
b) 26 iterações (bissecção com ε=10^{-7}).
c) Falsa posição: primeira iteração x_1=5{,}8, segunda x_2≈6{,}3816.
d) Erro relativo ≈0{,}0244 (≈2{,}44%).