Considere a função f(x)=x^2-7 x+3;
Faça um esboço do gráfico da função no intervalo [4,8].
Quantas iterações são necessárias para se obter uma aproximação para a raiz no intervalo [4,8], utilizando o método da bissecção com varepsilon=0,0000001,
longrightarrow Utilizando o método da falsa posição, realize duas iterações considerando [4,8] como intervalo inicial.
Considerando o resultado obtido na letra c), calcule o erro relativo.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é trabalhar com a função quadrática
f(x)=x^2-7x+3
e a gente vai:
  1. Desenhar um esboço do gráfico em [4,8].
  2. Calcular quantas iterações do método da bissecção são necessárias pra chegar em uma raiz nesse intervalo com ε=10^{-7}.
  3. Fazer duas iterações do método da falsa posição (regula falsi) usando [4,8] como ponto de partida.
  4. Com o resultado da letra c), achar o erro relativo.
Conteúdo-chave: parabola (vértice, coeficiente líder), método da bissecção (fórmula de erro), falsa posição (fórmula de ponto aproximado), definição de erro relativo.

Passo 2

Desenhando a parábola em [4,8]:
  1. A “cara” da parábola é para cima (coeficiente de x^2 é +1).
  2. Vértice em x_v = \frac{7}{2}=3{,}5 (fora do nosso intervalo), então em [4,8] a função só cresce.
  3. Calcula uns pontos básicos:
    • f(4)=4^2-7·4+3=16-28+3=-9
    • f(5)=25-35+3=-7
    • f(6)=36-42+3=-3
    • f(7)=49-49+3=3
    • f(8)=64-56+3=11
  4. Esboço: parabola subindo de (4,−9) pra (8,11), cruzando o eixo x entre 6 e 7.

Passo 3

Método da bissecção – número de iterações n:
A cada iteração o erro máximo é 8-42^n<= varepsilon=10^-7 . Queremos
Rightarrow 2^n>= 410^-7=4cdot10^7 [
\Rightarrow 2^n\ge \frac{4}{10{-7}}=4\cdot107
][
\Rightarrow n\ge \log_2(4\cdot107)=\log_2(4)+\log_2(107)\approx 2 + \frac{7}{\log_{10}(2)}\approx 25{,}22
]
Como n tem que ser inteiro, precisamos de n=26 iterações.

Passo 4

Método da falsa posição (duas iterações):
Fórmula do ponto aproximado:
xrm new = b - f(b),b-af(b)-f(a)
Iteração 1 com a_0=4, b_0=8:
  • f(a_0)=-9, f(b_0)=11
x1 = 8 - 11cdot8-411-(-9) = 8 - 4420 = 5,8
Como f(5,8)≈-3,96 (negativo), o intervalo vira [5,8].
Iteração 2 com a_1=5{,}8, b_1=8:
  • f(a_1)≈-3,96, f(b_1)=11
x2 = 8 - 11cdot8-5,811-(-3,96) = 8 - 11cdot2,214,96 approx 6,3816

Passo 5

Erro relativo:
  1. Raiz exata “boa” é
x^* = 7+raiz49-122 = 7+raiz372approx 6,54138
  1. Erro relativo = |6,3816 - 6,54138|6,54138 approx 0,159786,54138approx 0,0244(approx2,44%) :

Resposta

a) Gráfico: parábola crescente em [4,8], passando por (4,−9), (8,11) e cruzando o eixo x entre 6 e 7.
b) 26 iterações (bissecção com ε=10^{-7}).
c) Falsa posição: primeira iteração x_1=5{,}8, segunda x_2≈6{,}3816.
d) Erro relativo ≈0{,}0244 (≈2{,}44%).

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