Muitas calculadoras computam recíprocos usando a aproximação 1 / a approx xk+1, onde
xk+1=xk(2-a xk)
Considerando a=d3+1, recorra ao método de Newton-Raphson para provar a fórmula dada em (1).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usarmos o método de Newton–Raphson pra achar o recíproco de xk+1 ;=; xkl(2 - a,xkr) e mostrar que a iteração fica
xk+1 = xk - f(xk)f'(xk)
O conteúdo aqui é o método de Newton, que serve pra achar raízes de funções. Pra resolver, a gente vai:
  1. Escolher uma função que tenha como raiz .
  2. Calcular .
  3. Aplicar a fórmula de Newton–Raphson
e simplificar.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = 1x - a,
já que queremos a solução de f'(x) = ddxl(tfrac1x - ar) = -1x^2 que é exatamente , ou seja .
Agora derivamos:

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Newton–Raphson:
xk+1 = xk - f(xk)f'(xk) = xk - 1xk - a-1xk^2

Passo 4

Vamos simplificar esse quociente:
1xk - a-1xk^2 = l(tfrac1xk - ar),l(-xk^2r) = -xk + a,xk^2
Então
xk+1 = xk - l(-xk + a,xk^2r) = xk + xk - a,xk^2 = 2,xk - a,xk^2

Passo 5

Fatorando xk+1 = xk,(2 - a,xk), :
que é exatamente a fórmula dada.

Resposta

boxedxk+1 = xk,(2 - a,xk)

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