Muitas calculadoras computam recíprocos usando a aproximação
, onde
Considerando
, recorra ao método de Newton-Raphson para provar a fórmula dada em (1).
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra usarmos o método de Newton–Raphson pra achar o recíproco de
e mostrar que a iteração fica
O conteúdo aqui é o método de Newton, que serve pra achar raízes de funções. Pra resolver, a gente vai:
- Escolher uma função
que tenha como raiz . - Calcular
. - Aplicar a fórmula de Newton–Raphson
e simplificar.
Passo 2
Definimos a função
já que queremos a solução de
que é exatamente
, ou seja
.
Agora derivamos:
Agora derivamos:
Passo 3
Aplicamos a fórmula de Newton–Raphson:
Passo 4
Vamos simplificar esse quociente:
Então
Passo 5
Fatorando
:
que é exatamente a fórmula dada.