Considere o sistema linear c2 x1+x2=7 3 x1-4 x2=5
Resolva utilizando fatoração LU.
O critério das linhas é satisfeito? Justifique sua resposta.
Utilizando o método de Gauss-Jacobi com X^(0)=(ll0 & 0)^T, calcule X^(5). (Faça uma tabela com as aproximações)

Passo 1

Beleza, então o exercício é o seguinte: temos o sistema
2x1 + x2 = 7, 3x1 -4x2 = 5,
e a gente vai usar três coisas da matéria:
  1. fatoração LU pra resolver diretamente;
  2. critério das linhas (dominância diagonal) pra ver se o Jacobi converge;
  3. método iterativo de Gauss–Jacobi até a 5ª iteração, começando em .
A partir de agora, sem pular passo, vamos mesturar teoria e prática como se fosse um bate-papo.

Passo 2

Fatoração LU do sistema.
– Teoria rápida: a gente quer escrever A=2 & 1[6pt]3 & -4, b=75 , onde L=1 & 0 ell21 & 1, U=u11 & u120 & u22 é a matriz dos coeficientes, L=1 &0[3pt]3/2 &1, U=2 &10 &-5.5 é triangular inferior com 1 na diagonal, e 2x1 + x2 =7, -5.5,x2 = -5.5 é triangular superior.
Aqui
Assumimos
Comparando :
.
.

Então
Agora a gente resolve e depois .
  1. .

  2. Em seguida :
Da segunda: . Substituindo na primeira: .

Passo 3

Critério das linhas (dominância diagonal):
– Pra Jacobi convergir, em cada linha de a magnitude do elemento diagonal deve ser maior que a soma das magnitudes dos outros elementos dessa linha.
Linha 1: ? Sim, .
Linha 2: ? Sim, .
Ou seja, o critério é satisfeito e o Jacobi vai convergir.

Passo 4

Gauss–Jacobi até x1^(k+1) = 7 - x2^(k)2, x2^(k+1) = 3,x1^(k) -54 , com c|cc k & x1^(k) & x2^(k)hline 0 & 0 & 0 1 & 7-02=3.5 & 3cdot0-54=-1.25 2 & 7-(-1.25)2=4.125 & 3cdot3.5-54=1.375 3 & 7-1.3752=2.8125 & 3cdot4.125-54=1.84375 4 & 7-1.843752=2.578125 & 3cdot2.8125-54=0.859375 5 & 7-0.8593752=3.0703125 & 3cdot2.578125-54=0.68359375 .
– Teoria: em Jacobi, isolamos e em cada equação usando só valores da iteração anterior.
Agora fazemos a tabela:

Resposta

Solução exata (fatoração LU):
(x1,x2) = (3,,1)
O critério das linhas é satisfeito (2>1 e 4>3), logo Jacobi converge.
Após 5 iterações de Gauss–Jacobi,
X^(5) = 3.0703125 [3pt] 0.68359375

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