Considere o sistema linear
Resolva utilizando fatoração LU.
O critério das linhas é satisfeito? Justifique sua resposta.
Utilizando o método de Gauss-Jacobi com
, calcule
. (Faça uma tabela com as aproximações)
Resolva utilizando fatoração LU.
O critério das linhas é satisfeito? Justifique sua resposta.
Utilizando o método de Gauss-Jacobi com
Passo 1
Beleza, então o exercício é o seguinte: temos o sistema
e a gente vai usar três coisas da matéria:
- fatoração LU pra resolver diretamente;
- critério das linhas (dominância diagonal) pra ver se o Jacobi converge;
- método iterativo de Gauss–Jacobi até a 5ª iteração, começando em
.
A partir de agora, sem pular passo, vamos mesturar teoria e prática como se fosse um bate-papo.
Passo 2
Fatoração LU do sistema.
– Teoria rápida: a gente quer escrever , onde
é a matriz dos coeficientes,
é triangular inferior com 1 na diagonal, e
é triangular superior.
Aqui
– Teoria rápida: a gente quer escrever
Aqui
Assumimos
Comparando
:
– .
– .
–
Então
–
–
–
Então
Agora a gente resolve
e depois
.
-
. -
Em seguida:
Da segunda:
. Substituindo na primeira:
.
Passo 3
Critério das linhas (dominância diagonal):
– Pra Jacobi convergir, em cada linha de a magnitude do elemento diagonal deve ser maior que a soma das magnitudes dos outros elementos dessa linha.
Linha 1: ? Sim,
.
Linha 2: ? Sim,
.
Ou seja, o critério é satisfeito e o Jacobi vai convergir.
– Pra Jacobi convergir, em cada linha de
Linha 1:
Linha 2:
Ou seja, o critério é satisfeito e o Jacobi vai convergir.
Passo 4
Gauss–Jacobi até
, com
.
– Teoria: em Jacobi, isolamos e
em cada equação usando só valores da iteração anterior.
– Teoria: em Jacobi, isolamos
Agora fazemos a tabela:
Resposta
Solução exata (fatoração LU):
O critério das linhas é satisfeito (2>1 e 4>3), logo Jacobi converge.
Após 5 iterações de Gauss–Jacobi,
Após 5 iterações de Gauss–Jacobi,