Considere a função f(x)=x^2-5 x+3.
Existe raiz no intervalo [0,1]? Justifique a resposta.
A função de iteração varphi(x)=x^2+35 gera uma sequência convergente considerando o método do ponto fixo no intervalo [0,1] e x0=0,5 ? Justifique sua resposta
Considerando x0=0,5, calcule x3 utilizando o método do ponto fixo. Considerando x0=0,5, calcule x3 utilizando o método de NewtonRaphson.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é trabalhar com uma função quadrática
f(x)=x^2-5x+3
e fazer umas coisinhas:
  1. Ver se ela tem raiz em varphi(x)=x^2+35 (usando o Teorema de Bolzano).
  2. Ver se a iteração de ponto-fixo
converge no intervalo .
3) Calcular começando em pelo ponto-fixo.
4) Calcular usando o método de Newton–Raphson (mesmo ).
A matéria que vamos usar é: continuação e Bolzano, ponto-fixo (função contração) e Newton–Raphson (derivada).

Passo 2

Queremos saber se existe f(0)=0^2-5cdot0+3=3>0, f(1)=1^2-5cdot1+3=-1<0 tal que .
  1. Calcula e :
  1. Como é polinomial (logo contínua) e mudou de sinal entre 0 e 1, o Teorema de Bolzano manda: existe pelo menos uma raiz em .

Passo 3

Para o método do ponto-fixo, a gente reescreve varphi(0)=35=0,6in[0,1], varphi(1)=1+35=0,8in[0,1] como varphi'(x)=2x5, max[0,1]l|varphi'(x)r|=2cdot15=0,4<1 .
Aqui .
Critérios de convergência no intervalo :
  1. ?
  2. é contração se .
Então sim, é contrato em e a iteração converge para o único ponto-fixo.

Passo 4

Agora vamos calcular as três primeiras iterações:
xn+1=varphi(xn)=xn^2+35, x0=0,5
  1. .
  2. .

Passo 5

No método de Newton–Raphson a fórmula é
xn+1 = xn-f(xn)f'(xn),
com f(0,5)=0,75, f'(0,5)=-4 ;Longrightarrow; x1=0,5-0,75-4=0,6875 e f(0,6875)=0,03515625,; f'(0,6875)=-3,625 ;Longrightarrow; x2=0,6875-0,03515625-3,625approx0,69719 .
  1. Em f(0,69719)approx0,000124,; f'(0,69719)approx-3,60562 ;Longrightarrow; x3approx0,69719-0,000124-3,60562approx0,69722 :
  2. Em :
  3. Em :

Resposta

  1. Existe raiz em (Bolzano).
  2. A iteração é contração em , logo converge.
  3. Pelo ponto-fixo: .
  4. Pelo método de Newton–Raphson: .

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