Considere a função .
Existe raiz no intervalo [0,1]? Justifique a resposta.
A função de iteração gera uma sequência convergente considerando o método do ponto fixo no intervalo e ? Justifique sua resposta
Considerando , calcule utilizando o método do ponto fixo. Considerando , calcule utilizando o método de NewtonRaphson.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é trabalhar com uma função quadrática
e fazer umas coisinhas:
Ver se ela tem raiz em (usando o Teorema de Bolzano).
Ver se a iteração de ponto-fixo
converge no intervalo .
3) Calcular começando em pelo ponto-fixo.
4) Calcular usando o método de Newton–Raphson (mesmo ).
A matéria que vamos usar é: continuação e Bolzano, ponto-fixo (função contração) e Newton–Raphson (derivada).
Passo 2
Queremos saber se existe tal que .
Calcula e :
Como é polinomial (logo contínua) e mudou de sinal entre 0 e 1, o Teorema de Bolzano manda: existe pelo menos uma raiz em .
Passo 3
Para o método do ponto-fixo, a gente reescreve como .
Aqui .
Critérios de convergência no intervalo :
?
é contração se .
Então sim, é contrato em e a iteração converge para o único ponto-fixo.
Passo 4
Agora vamos calcular as três primeiras iterações:
xn+1=varphi(xn)=xn^2+35, x0=0,5
.
.
Passo 5
No método de Newton–Raphson a fórmula é
xn+1 = xn-f(xn)f'(xn),
com f(0,5)=0,75, f'(0,5)=-4 ;Longrightarrow; x1=0,5-0,75-4=0,6875 e f(0,6875)=0,03515625,; f'(0,6875)=-3,625 ;Longrightarrow; x2=0,6875-0,03515625-3,625approx0,69719 .
Em f(0,69719)approx0,000124,; f'(0,69719)approx-3,60562 ;Longrightarrow; x3approx0,69719-0,000124-3,60562approx0,69722 :