Considere a função f(x)=e^{\frac{x}{3}} e os valores de x :
x_{1}=1 ; x_{2}=2 ; x_{3}=3 ; x_{4}=4
a) Obtenha um polinômio interpolador, \mathrm{p}(\mathrm{x}), de grau 3 , para \mathrm{f}(\mathrm{x}) e 1 \leq x \leq 4.
b) Calcule o erro E(x)=f(x)-p(x) para x=1,5 ; x=2,5 ; x=3,5 e x= 3,75,

Passo 1

O enunciado pede dois itens para a função \,f(x)=e^{x/3} nos pontos
x_1=1,\quad x_2=2,\quad x_3=3,\quad x_4=4.
a) Construir o polinômio interpolador \,p(x) de grau 3 nesses nós.
b) Calcular o erro E(x)=f(x)-p(x) nos pontos x=1,5, 2,5, 3,5 e 3,75.
O método escolhido será a forma de Newton com diferenças divididas, seguida de avaliação numérica.

Passo 2

Vamos calcular as diferenças divididas de Newton:
  1. Valores de f nos nós: f(x_1)=e^{1/3},\quad f(x_2)=e^{2/3},\quad f(x_3)=e^1,\quad f(x_4)=e^{4/3}.
  2. Primeiras diferenças divididas: f[x_1,x_2] =\frac{e^{2/3}-e^{1/3}}{2-1} =e^{1/3}\bigl(e^{1/3}-1\bigr),
f[x_2,x_3] =e^{2/3}\bigl(e^{1/3}-1\bigr), \quad f[x_3,x_4] =e^{1}\bigl(e^{1/3}-1\bigr).
  1. Segundas diferenças divididas: f[x_1,x_2,x_3] =\frac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{3-1} =\frac{(e^{1/3}-1)^2\,e^{1/3}}{2},
f[x_2,x_3,x_4] =\frac{f[x_3,x_4]-f[x_2,x_3]}{4-2} =\frac{(e^{1/3}-1)^2\,e^{2/3}}{2}.
  1. Terceira diferença dividida: f[x_1,x_2,x_3,x_4] =\frac{f[x_2,x_3,x_4]-f[x_1,x_2,x_3]}{4-1} =\frac{(e^{1/3}-1)^3\,e^{1/3}}{6}.

Passo 3

A forma de Newton do polinômio de grau 3 é
p(x) =f(x_1) +f[x_1,x_2]\,(x-1) +f[x_1,x_2,x_3]\,(x-1)(x-2) +f[x_1,x_2,x_3,x_4]\,(x-1)(x-2)(x-3).
Substituindo as diferenças divididas:
p(x)=e^{1/3} +e^{1/3}(e^{1/3}-1)\,(x-1) +\frac{(e^{1/3}-1)^2\,e^{1/3}}{2}\,(x-1)(x-2) +\frac{(e^{1/3}-1)^3\,e^{1/3}}{6}\,(x-1)(x-2)(x-3).

Passo 4

Para cada ponto x dado, avaliamos numericamente
\,f(x)=e^{x/3} e \,p(x) (usando aproximações: e^{1/3}\approx1,3956, e^{2/3}\approx1,9477, e\approx2,7183, e^{4/3}\approx3,7942)
e então calculamos
E(x)=f(x)-p(x).

Passo 5

Resultados numéricos aproximados:
  • Para x=1,5:
    f(1,5)=e^{0,5}\approx1,6487,
    p(1,5)\approx1,6497,
    E(1,5)\approx-0,0010.
  • Para x=2,5:
    f(2,5)=e^{0,8333}\approx2,3010,
    p(2,5)\approx2,2999,
    E(2,5)\approx0,0011.
  • Para x=3,5:
    f(3,5)=e^{1,1667}\approx3,2139,
    p(3,5)\approx3,2119,
    E(3,5)\approx0,0020.
  • Para x=3,75:
    f(3,75)=e^{1,25}\approx3,4903,
    p(3,75)\approx3,4912,
    E(3,75)\approx-0,0009.

Resposta

a)
p(x)=e^{1/3} +e^{1/3}(e^{1/3}-1)\,(x-1) +\frac{(e^{1/3}-1)^2\,e^{1/3}}{2}\,(x-1)(x-2) +\frac{(e^{1/3}-1)^3\,e^{1/3}}{6}\,(x-1)(x-2)(x-3).
b)
E(1,5)\approx-0,0010, \quad E(2,5)\approx0,0011, \quad E(3,5)\approx0,0020, \quad E(3,75)\approx-0,0009.

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