Resolver as integrais abaixo usando as regras do trapézio e a 1^{\underline{\mathrm{a}}} regra de Simpson, ambas com \mathrm{N}=6. Estime o erro cometido em cada integral. Compare o resultado com o valor exato fornecido.
(b) I=\int_{4}^{4,5} \frac{d x}{x^{2}}=0,0277777778

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I = \int_{4}^{4,5} \frac{dx}{x^{2}}
usando a regra do trapézio e a 1ª regra de Simpson com N=6 subintervalos, estimar o erro em cada caso e comparar com o valor exato I_{\text{exato}}=0,0277777778.
O conteúdo envolve:
– definição de h=(b-a)/N,
– fórmulas da regra do trapézio e de Simpson,
– estimativa de erro via derivadas de ordem 2 (trapézio) e 4 (Simpson).

Passo 2

Calcular o passo h e os nós x_i:
h = \frac{4,5 - 4}{6} = \frac{0,5}{6} = 0,0833333333.
Os nós são
x_i = 4 + i\,h,\quad i=0,1,\dots,6,
e \displaystyle f(x)=\frac1{x^2}. A seguir tabela resumida:
\begin{array}{c|c|c} i & x_i & f(x_i)=1/x_i^2\\hline 0 & 4{,}0000 & 0{,}062500\\\\ 1 & 4{,}0833 & 0{,}0599744\\\\ 2 & 4{,}1667 & 0{,}0576000\\\\ 3 & 4{,}2500 & 0{,}0553770\\\\ 4 & 4{,}3333 & 0{,}0532544\\\\ 5 & 4{,}4167 & 0{,}0512640\\\\ 6 & 4{,}5000 & 0{,}0493827 \end{array}

Passo 3

Aplicar a regra do trapézio:
T = h\Bigl[\tfrac{f(x_0)+f(x_6)}{2} + \sum_{i=1}^{5}f(x_i)\Bigr].
Substituindo,
T = 0,08333333\Bigl[\tfrac{0,062500 + 0,0493827}{2} + (0,0599744 + 0,0576000 + 0,0553770 + 0,0532544 + 0,0512640)\Bigr] \approx 0,0277842.

Passo 4

Aplicar a 1ª regra de Simpson:
S = \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+f(x_6)+4\sum_{i\text{ ímpar}}f(x_i) +2\sum_{i\text{ par},\,i\neq0,6}f(x_i)\Bigr].í
Logo,
S = \frac{0,08333333}{3}\Bigl[0,062500+0,0493827 +4(0,0599744+0,0553770+0,0512640) +2(0,0576000+0,0532544)\Bigr] \approx 0,0277782.

Passo 5

Estimativa de erro:
Para o trapézio,
f''(x)=6x^{-4},\quad \max_{[4,4,5]}|f''(x)|=f''(4)=\frac{6}{4^4}=0,0234375,
|E_T|\le \frac{(b-a)^3}{12N^2}\max|f''| = \frac{(0,5)^3}{12\cdot6^2}\,0,0234375 \approx 6,8\times10^{-6}.
Para Simpson,
f''''(x)=120x^{-6},\quad \max_{[4,4,5]}|f''''(x)|=f''''(4)=\frac{120}{4^6}=0,029296875,
|E_S|\le \frac{(b-a)^5}{180N^4}\max|f''''| = \frac{(0,5)^5}{180\cdot6^4}\,0,029296875 \approx 4,0\times10^{-9}.

Passo 6

Cálculo do erro real em relação ao valor exato I_{\text{exato}}=0,0277777778:
|T - I_{\text{exato}}|\approx |0,0277842 - 0,0277777778| \approx 6,4\times10^{-6},
|S - I_{\text{exato}}|\approx |0,0277782 - 0,0277777778| \approx 4,2\times10^{-7}.

Resposta

Trapézio:
T \approx 0,0277842,\quad \text{erro estimado } \le6,8\times10^{-6},\quad \text{erro real }\approx6,4\times10^{-6}.
Simpson:
S \approx 0,0277782,\quad \text{erro estimado } \le4,0\times10^{-9},\quad \text{erro real }\approx4,2\times10^{-7}.

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