Resolver as integrais abaixo usando as regras do trapézio e a 1^{\underline{\mathrm{a}}} regra de Simpson, ambas com \mathrm{N}=6. Estime o erro cometido em cada integral. Compare o resultado com o valor exato fornecido.
(a) I=\int_{0}^{1} \frac{\cos (x)}{1+x} d x=0,6010443854

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I = \int_{0}^{1} \frac{\cos(x)}{1+x}\,dx
usando a regra do trapézio e a 1ª regra de Simpson com N=6, estimar o erro cometido em cada caso e comparar com o valor exato
I_{\text{exato}} = 0,6010443854.
O método exige calcular h=(b-a)/N, avaliar f(x_i) nos nós x_i=a+i\,h, e usar as fórmulas clássicas de trapézio e Simpson.

Passo 2

Calcular os nós e as avaliações de
f(x) = \frac{\cos(x)}{1+x}
com h = (1-0)/6 = \tfrac{1}{6}. Para i=0,1,\dots,6:
x_i = \frac{i}{6},\quad f_i = f(x_i).
Numericamente obtemos (arredondando a 5 casas):
f_0 = f(0) = 1,
f_1 \approx 0{,}84514,
f_2 \approx 0{,}70839,
f_3 \approx 0{,}58505,
f_4 \approx 0{,}47152,
f_5 \approx 0{,}36621,
f_6 = f(1) \approx 0{,}27015.

Passo 3

Aplicar a regra do trapézio:
I_T = h\Bigl(\tfrac{f_0}{2} + f_1 + f_2 + f_3 + f_4 + f_5 + \tfrac{f_6}{2}\Bigr).
Substituindo h=\tfrac{1}{6} e os f_i:
I_T = \frac{1}{6}\Bigl(\tfrac{1}{2} + 0{,}84514 + 0{,}70839 + 0{,}58505 + 0{,}47152 + 0{,}36621 + \tfrac{0{,}27015}{2}\Bigr) \approx 0{,}6018625.

Passo 4

Aplicar a 1ª regra de Simpson:
I_S = \frac{h}{3}\Bigl(f_0 + 4(f_1+f_3+f_5) + 2(f_2+f_4) + f_6\Bigr).
Com h=\tfrac{1}{6} e os valores encontrados:
I_S = \frac{1/6}{3}\Bigl(1 + 4(0{,}84514+0{,}58505+0{,}36621) + 2(0{,}70839+0{,}47152) + 0{,}27015\Bigr) \approx 0{,}6008180.

Passo 5

Calcular o erro real de cada aproximação comparando com I_{\text{exato}}:
E_T = \bigl|I_T - I_{\text{exato}}\bigr| \approx \bigl|0{,}6018625 - 0{,}6010444\bigr| \approx 0{,}0008181,
E_S = \bigl|I_S - I_{\text{exato}}\bigr| \approx \bigl|0{,}6008180 - 0{,}6010444\bigr| \approx 0{,}0002264.

Resposta

I_T ≈ 0,6018625, com erro E_T ≈ 8,18×10⁻⁴
I_S ≈ 0,6008180, com erro E_S ≈ 2,26×10⁻⁴

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