Use o método da falsa posição para achar uma aproximação da raiz da função f(x)=e^{2 x}-x^{4} tal que \left|f\left(x_{k}\right)\right| \leq 0,01. Observação faça utilizando a formula indicada.
Formula:
x_{3}=\frac{x_{1}\left|f\left(x_{2}\right)\right|+x_{2}\left|f\left(x_{1}\right)\right|}{\left|f\left(x_{1}\right)\right|+\left|f\left(x_{2}\right)\right|}

Passo 1

O enunciado pede para usar o método da falsa posição na função
f(x)=e^{2x}-x^{4}
de modo a encontrar uma raiz aproximada tal que \lvert f(x_{k})\rvert\le0,01.
O método requer um intervalo inicial [x_{1},x_{2}] com f(x_{1}) e f(x_{2}) de sinais opostos. Vamos escolher
x_{1}=-1,\quad x_{2}=0
pois
f(-1)=e^{-2}-(-1)^{4}=0,1353-1=-0,8647<0, \quad f(0)=e^{0}-0=1>0.

Passo 2

Aplicando a fórmula de falsa posição para obter x_{3}:
x_{3} = \frac{x_{1}\,\lvert f(x_{2})\rvert \;+\;x_{2}\,\lvert f(x_{1})\rvert} {\lvert f(x_{1})\rvert+\lvert f(x_{2})\rvert} = \frac{-1\cdot1 + 0\cdot0,8647}{0,8647+1} = -0,5363.

Passo 3

Calculamos f(x_{3}):
f(-0,5363) = e^{-1,0726}-(-0,5363)^{4} \approx 0,3420 - 0,0826 = 0,2594>0.
Como f(x_{1})<0 e f(x_{3})>0, o novo intervalo é
[x_{1},x_{2}]\leftarrow[-1,\,-0,5363].

Passo 4

Reaplicando a fórmula em [-1,\,-0,5363] para obter x_{4}:
x_{4} = \frac{-1\cdot0,2594 + (-0,5363)\cdot0,8647}{0,8647+0,2594} = -0,6436.
Calculamos
f(-0,6436) = e^{-1,2872}-(-0,6436)^{4} \approx 0,2756 - 0,1716 = 0,1040>0,
portanto o intervalo vira
[-1,\,-0,6436].

Passo 5

No intervalo [-1,\,-0,6436] temos:
x_{5} = \frac{-1\cdot0,1040 + (-0,6436)\cdot0,8647}{0,8647+0,1040} = -0,6827,
f(-0,6827) \approx 0,2554 - 0,2173 = 0,0381>0,
e o intervalo reduz para
[-1,\,-0,6827].

Passo 6

Ainda em [-1,\,-0,6827]:
x_{6} = \frac{-1\cdot0,0381 + (-0,6827)\cdot0,8647}{0,8647+0,0381} = -0,6961,
f(-0,6961) \approx 0,2486 - 0,2351 = 0,0135>0,
atualizando o intervalo para
[-1,\,-0,6961].

Passo 7

Uma iteração final em [-1,\,-0,6961]:
x_{7} = \frac{-1\cdot0,0135 + (-0,6961)\cdot0,8647}{0,8647+0,0135} = -0,7014,
f(-0,7014) \approx 0,2458 - 0,2420 = 0,0038.
Aqui \lvert f(x_{7})\rvert=0,0038\le0,01, atingindo a precisão desejada.

Resposta

A raiz aproximada é \displaystyle x\approx -0,7014, pois neste ponto \lvert f(x)\rvert\le0,01.

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