Considere o sistema linear abaixo:
ccc x+2 y-3 z+0 t+w & = & -6 -2 x-5 y-2 z-3 t+0 w & = & 4 5 x+y+alpha z-2 t+2 w & = & 11 4 x+0 y+3 z-3 t+3 w & = & 2 -x-y-5 z+2 t+w & = & -2
Encontre o valor de alpha para o sistema possa ser resolvido pelo métedo de eliminação de Gauss, SEM pivoteamento;

Passo 1

Beleza, então o que temos é um sistema 5×5 com parâmetro . A matéria aqui é Eliminação de Gauss SEM pivoteamento, ou seja, a gente não pode encontrar nenhum pivô zero em cada etapa.
O que vamos precisar:
  • Montar a matriz dos coeficientes.
  • Saber que, em eliminação sem pivoteamento, cada pivô (que é o elemento “da diagonal” na etapa correspondente) tem de ser diferente de zero.
  • Esses pivôs equivalem aos determinantes dos menores principais da matriz (menores 1×1, 2×2, …, 5×5).

Passo 2

Primeiro fixamos a matriz dos coeficientes:
A= 1 & 2 & -3 & 0 & 1 -2& -5 & -2 & -3 & 0 5 & 1 & alpha & -2 & 2 4 & 0 & 3 & -3 & 3 -1& -1 & -5 & 2 & 1
Na eliminação sem pivoteamento, o pivô da etapa é o elemento depois de zerar tudo acima dele; equivalentemente, é o determinante do menor principal . Se esse pivô virar zero, a gente emperra sem fazer troca de linhas.

Passo 3

Menor principal de ordem 1 (pivô1):
detl([,1,]r)=1neq 0
(está sempre ok, não impõe condição em det1&2-2&-5 =1cdot(-5)-2cdot(-2)=-5+4=-1neq 0 ).
Menor principal de ordem 2 (pivô2):
det 1 & 2 & -3 -2&-5 & -2 5 & 1 & alpha =-l(alpha+87r)
(também ok, sem restrição sobre alpha+87neq 0 Longrightarrow alphaneq -87 ).
Menor principal de ordem 3 (pivô3):
Para não dar pivô zero, precisamos

Passo 4

Menor principal de ordem 4 (pivô4): expandindo os 4×4 de cima, dá
det(A4)=21,alpha-148alpha+87(até aqui alphaneq -87) é
Então exigimos
21,alpha-148neq 0 Longrightarrow alphaneq 14821

Passo 5

Por fim, o menor principal de ordem 5 é o próprio 67alpha^2+5161alpha-58116neq0 . Se você rodar toda eliminação até o final, o pivô5 (na última linha) vem de um polinômio
alpha=-5161pmraiz422110092cdot67
As raízes exatas são
Numericamente dá aproximadamente ou , mas o já foi barrado no pivô3, então sobra a outra raiz.

Resposta

Para que a eliminação de Gauss role sem pivô zero, boxed alphaneq -87, alphaneq 14821, alphaneq -5161pmraiz42211009134 não pode ser nenhum destes valores:
Assim garantimos que todos os pivôs (menores principais de ordem 1 a 5) sejam diferentes de zero e sobra o cálculo normal da eliminação.

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