Encontre o valor de alpha para o sistema possa ser resolvido pelo métedo de eliminação de Gauss, SEM pivoteamento;
Passo 1
Beleza, então o que temos é um sistema 5×5 com parâmetro . A matéria aqui é Eliminação de Gauss SEM pivoteamento, ou seja, a gente não pode encontrar nenhum pivô zero em cada etapa.
O que vamos precisar:
Montar a matriz dos coeficientes.
Saber que, em eliminação sem pivoteamento, cada pivô (que é o elemento “da diagonal” na etapa correspondente) tem de ser diferente de zero.
Esses pivôs equivalem aos determinantes dos menores principais da matriz (menores 1×1, 2×2, …, 5×5).
Na eliminação sem pivoteamento, o pivô da etapa é o elemento depois de zerar tudo acima dele; equivalentemente, é o determinante do menor principal . Se esse pivô virar zero, a gente emperra sem fazer troca de linhas.
Passo 3
Menor principal de ordem 1 (pivô1):
detl([,1,]r)=1neq 0
(está sempre ok, não impõe condição em det1&2-2&-5 =1cdot(-5)-2cdot(-2)=-5+4=-1neq 0 ).
(também ok, sem restrição sobre alpha+87neq 0 Longrightarrow alphaneq -87 ).
Menor principal de ordem 3 (pivô3):
Para não dar pivô zero, precisamos
Passo 4
Menor principal de ordem 4 (pivô4): expandindo os 4×4 de cima, dá
det(A4)=21,alpha-148alpha+87(até aqui alphaneq -87) é
Então exigimos
21,alpha-148neq 0 Longrightarrow alphaneq 14821
Passo 5
Por fim, o menor principal de ordem 5 é o próprio 67alpha^2+5161alpha-58116neq0 . Se você rodar toda eliminação até o final, o pivô5 (na última linha) vem de um polinômio
alpha=-5161pmraiz422110092cdot67
As raízes exatas são
Numericamente dá aproximadamente ou , mas o já foi barrado no pivô3, então sobra a outra raiz.
Resposta
Para que a eliminação de Gauss role sem pivô zero, boxed alphaneq -87, alphaneq 14821, alphaneq -5161pmraiz42211009134 não pode ser nenhum destes valores:
Assim garantimos que todos os pivôs (menores principais de ordem 1 a 5) sejam diferentes de zero e sobra o cálculo normal da eliminação.