Considere a função .
Verificar pela definição se é diferenciável em .
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Considere a função . Verificar, pela definição, se é diferenciável em .”
Matéria envolvida: derivada em várias variáveis e definição de diferenciabilidade.
O que a gente vai precisar:
Calcular as derivadas parciais de .
Montar o aproximante linear (o “plano tangente”).
Verificar que o resto da expansão é pequeno demais, isto é, que tende a zero comparado à norma .
Passo 2
Primeiro, lembra que dizer “ é diferenciável em ” significa que existe uma aplicação linear tal que, chamando , valha
Em outras palavras, o erro depois de subtrair o plano aproximante é ínfimo em relação à distância .
Passo 3
Vamos achar as derivadas parciais de :
Passo 4
Avalia as parciais no ponto :
Então o aproximante linear (o “”) é
Passo 5
Agora expande :
Logo
Se subtrair o aproximante , sobra o resto
Passo 6
Pra ver que isso é , basta notar que
Então
Isso mostra que o erro é “pequeno demais” e, portanto, é diferenciável em .