Considere a função g(x, y)=2 x y.
Verificar pela definição se g é diferenciável em P(1,2).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Considere a função . Verificar, pela definição, se é diferenciável em .”
Matéria envolvida: derivada em várias variáveis e definição de diferenciabilidade.
O que a gente vai precisar:
  • Calcular as derivadas parciais de .
  • Montar o aproximante linear (o “plano tangente”).
  • Verificar que o resto da expansão é pequeno demais, isto é, que tende a zero comparado à norma .

Passo 2

Primeiro, lembra que dizer “ g(1+h,2+k) - g(1,2) - L(h,k) = ol(raizh^2+k^2r) é diferenciável em ” significa que existe uma aplicação linear tal que, chamando , valha
Em outras palavras, o erro depois de subtrair o plano aproximante é ínfimo em relação à distância .

Passo 3

Vamos achar as derivadas parciais de partial gpartial x(x,y)=2y, partial gpartial y(x,y)=2x :

Passo 4

Avalia as parciais no ponto gx(1,2)=2cdot 2=4, gy(1,2)=2cdot 1=2 :
L(h,k) = 4,h + 2,k
Então o aproximante linear (o “ ”) é

Passo 5

Agora expande g(1+h,2+k)=2,(1+h),(2+k) =2l(2 + k + 2h + hkr) =4 + 2k +4h +2hk :
g(1+h,2+k)-g(1,2) = (4 + 2k +4h +2hk) - 4 = 4h + 2k + 2hk
Logo
R(h,k) = l[g(1+h,2+k)-g(1,2)r] - L(h,k) = 2,h,k
Se subtrair o aproximante , sobra o resto

Passo 6

Pra ver que isso é l|R(h,k)r| = 2,|h,k| <= 2cdoth^2+k^22 = h^2+k^2 , basta notar que
l|R(h,k)r|raizh^2+k^2 <= h^2+k^2raizh^2+k^2 = raizh^2+k^2 ;longrightarrow;0 quando (h,k)to(0,0)
Então
Isso mostra que o erro é “pequeno demais” e, portanto, é diferenciável em .

Resposta

Sim, a função é diferenciável em .

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