Seja h(x, y)=cl2 x^5x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0).
Encontre o conjunto onde h é diferenciável.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a função
h(x,y)= 2x^5x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
O assunto é “diferenciabilidade de funções de duas variáveis”. A gente vai precisar de:
  1. Saber que quociente de funções polinomiais (com denominador não zero) é C^infty, logo diferenciável onde o denominador não zera;
  2. Usar a definição de diferenciabilidade na origem (linearização e limite do resto).

Passo 2

Primeiro, para qualquer ponto (x,y)neq(0,0), o denominador x^2+y^2 é diferente de zero. Então h(x,y)=2x^5/(x^2+y^2) é quociente de polinômios sem zeros no denominador. Pela teoria, toda função desse tipo é C^infty nesse ponto e, em particular, diferenciável.

Passo 3

Agora vamos olhar o ponto (0,0). A gente quer verificar se h é diferenciável lá. Para isso:
a) Calculamos as derivadas parciais via definição.
  • Derivada em x na origem:
partial hpartial x(0,0) =limhto0h(h,0)-h(0,0)h =limhto02h^5h^2+0-0h =limhto02h^5/h^2h =limhto02h^2=0
  • Derivada em y na origem:
partial hpartial y(0,0) =limkto0h(0,k)-0k =limkto00k =0
Então o candidato a diferencial linear em (0,0) é a função nula L(x,y)=0cdot x+0cdot y=0.

Passo 4

Falta ver se a definição de diferenciabilidade bate, ou seja,
lim(x,y)to(0,0) h(x,y)-0 - L(x,y)raizx^2+y^2 =lim(x,y)to(0,0) h(x,y)raizx^2+y^2 stackrel?=0
Para (x,y)neq(0,0),
l|h(x,y)r| =|2x^5x^2+y^2| <= 2|x|^5x^2 =2|x|^3 <=2l(raizx^2+y^2r)^3
Logo
|h(x,y)raizx^2+y^2| <=2l(raizx^2+y^2r)^2 longrightarrow0 quando (x,y)to(0,0)
Isso mostra que h(x,y)/|(x,y)|to0, então h é diferenciável em (0,0).

Resposta

O conjunto onde h é diferenciável é todo R^2,.

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