O assunto é “diferenciabilidade de funções de duas variáveis”. A gente vai precisar de:
Saber que quociente de funções polinomiais (com denominador não zero) é C^infty, logo diferenciável onde o denominador não zera;
Usar a definição de diferenciabilidade na origem (linearização e limite do resto).
Passo 2
Primeiro, para qualquer ponto (x,y)neq(0,0), o denominador x^2+y^2 é diferente de zero. Então h(x,y)=2x^5/(x^2+y^2) é quociente de polinômios sem zeros no denominador. Pela teoria, toda função desse tipo é C^infty nesse ponto e, em particular, diferenciável.
Passo 3
Agora vamos olhar o ponto (0,0). A gente quer verificar se h é diferenciável lá. Para isso:
a) Calculamos as derivadas parciais via definição.