Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções.
G(x, y, z)=x y zraizx^2+y^2+z^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
G(x,y,z)=x,y,zraizx^2+y^2+z^2
Conteúdo envolvido: derivada parcial, regra do quociente e regra da cadeia.
Para resolver vamos:
  1. Identificar partialpartial xl(uvr) =ux,v - u,vxv^2 e .
  2. Calcular , (e depois para e ).
  3. Aplicar a fórmula

Passo 2

Vamos achar vx=12(x^2+y^2+z^2)^-1/2cdot 2x =xraizx^2+y^2+z^2 .
  1. Gx =ux,v - u,vxv^2 =y z;raizD;-;(x y z);xraizD(raizD)^2, Gx =y z,D - x^2 y zD,raizD =y z,(D - x^2)D^3/2 =y z,(y^2+z^2)(x^2+y^2+z^2)^3/2 (tratamos como constantes).
  2. ⇒, pela regra da cadeia,
  1. Aplicando a regra do quociente:
onde .
4) Simplificando:

Passo 3

Agora Gy =x z,(x^2+z^2)(x^2+y^2+z^2)^3/2 .
Pela simetria do problema, trocamos no resultado de :

Passo 4

Finalmente Gz =x y,(x^2+y^2)(x^2+y^2+z^2)^3/2 .
De modo análogo, trocamos no :

Resposta

As derivadas parciais de boxed Gx &= y,z,(y^2+z^2)(x^2+y^2+z^2)^3/2, Gy &= x,z,(x^2+z^2)(x^2+y^2+z^2)^3/2, Gz &= x,y,(x^2+y^2)(x^2+y^2+z^2)^3/2 são

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