Considere a função
f(x)=\ln \left(16-x^{2}\right)
(a) Calcule f(2) com 5 casas decimais e arredondamento.
R: 2,48491
(b) Encontre o termo geral da série de Taylor de f usando propriedades de logaritmo e as séries vistas em sala.
\mathrm{R}: 2 \ln 4+\sum_{n=0}^{\infty}\left[(-1)^{n}-1\right](x / 4)^{n+1} /(n+1) ; \quad|x|<4
(c) Calcule o erro relativo para x=2 usando os 3 primeiros termos da série obtida no item (b). Dê a resposta com 2 casas decimais e arredondamento.
R: 1.52%
(d) Calcule, numericamente, a integral indefinida de f, integrando a série obtida em (b)
\mathrm{R}: 2 x \ln 4+4 \sum_{n=0}^{\infty}\left[(-1)^{n}-1\right](x / 4)^{n+2} /[(n+1)(n+2)]+C
(e) Dado que
\int_{0,2}^{1,7} \ln \left(16-x^{2}\right) d x=4,05062
calcule o erro relativo aplicando os limites de integração na resposta do item (c). Utilize os 2 primeiros termos e 5 casas decimais com arredondamento.
\mathrm{R}: 0,15 \%

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\ln\left(16-x^{2}\right)
e pede cinco coisas:
  • (a) calcular f(2) com 5 casas decimais (arredondamento);
  • (b) encontrar o termo geral da série de Taylor (Maclaurin) de f, usando propriedades do logaritmo e séries vistas em sala, e indicar o raio de convergência;
  • (c) para x=2, calcular o erro relativo usando os 3 primeiros termos da série do item (b) e dar a resposta com 2 casas decimais (arredondamento);
  • (d) integrar term‑a‑term a série obtida em (b) e apresentar a integral indefinida (constante de integração C);
  • (e) sabendo que \displaystyle \int_{0,2}^{1,7}\ln\left(16-x^{2}\right)\,dx=4,05062, usar os 2 primeiros termos da primitiva do item (d), aplicar os limites 0,2 e 1,7 e calcular o erro relativo (pediram usar 5 casas decimais nos valores intermediários e arredondamento).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{o domínio natural}:16-x^{2}>0\Rightarrow |x|<4.í
Vamos usar a expansão de série de \ln(1+u)
\ln(1+u)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m+1}}{m}u^{m},\qquad |u|<1,
e a propriedade do logaritmo \ln(ab)=\ln a+\ln b.

Passo 2

Calcular f(2).
Primeiro reescrevo o argumento do logaritmo:
f(2)=\ln(16-2^{2})=\ln(16-4)=\ln(12).
Uso a fatoração \ln(12)=\ln(3\cdot4)=\ln 3+\ln 4. Conhecemos valores aproximados (tabela básica ou calculadora): \ln 2\approx0,6931471805599453 e \ln 3\approx1,0986122886681098. Então
\ln 4=2\ln 2\approx2\cdot0,6931471805599453=1,3862943611198906.
Somando,
\ln 12=\ln 3+\ln 4\approx1,0986122886681098+1,3862943611198906=2,4849066497880004.
Arredondando para 5 casas decimais:
f(2)=\ln 12\approx 2,48491.

Passo 3

Encontrar a série de Taylor (Maclaurin) de f(x).
Usamos a propriedade do logaritmo para isolar uma parte do tipo \ln(1+u):
f(x)=\ln(16-x^{2})=\ln 16+\ln\!\left(1-\frac{x^{2}}{16}\right).
Defino u=-\dfrac{x^{2}}{16}. Como |u|<1 quando |x|<4, posso aplicar a série de \ln(1+u):
\ln(1+u)=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-u)^{k}}{k}=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\left(\frac{x^{2}}{16}\right)^{k}.
Portanto a expansão é
\ln(16-x^{2})=\ln 16 - \sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{2k}}{k\,16^{k}},\qquad |x|<4.
Observação: \ln 16=2\ln 4, então posso escrever a constante como 2\ln4.
Agora mostro a forma alternativa pedida no enunciado, que usa índice n. Começo da série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{2k}}{k\,16^{k}}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(x/4)^{2m}}{m}.
Outra escrita útil (a do enunciado) é
2\ln4+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{[(-1)^{n}-1]}{n+1}\left(\frac{x}{4}\right)^{n+1}.
Para ver que essa forma é equivalente: o fator [(-1)^n-1] é zero quando n é par e igual a -2 quando n é ímpar; ao selecionar apenas os n ímpares e reindexar n=2m-1 obtém‑se exatamente -\sum_{m=1}^{\infty}\dfrac{(x/4)^{2m}}{m}, que é a mesma série negativa acima. Logo as duas formas são equivalentes.
Conclusão e raio de convergência:
\boxed{\ln(16-x^{2})=2\ln 4+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{[(-1)^{n}-1]}{n+1}\left(\frac{x}{4}\right)^{n+1},\qquad |x|<4.}

Passo 4

(Cálculo explícito dos primeiros termos e observação para uso no item (c).)
Usando a forma mais direta
\ln(16-x^{2})=\ln 16-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{2k}}{k\,16^{k}},
os primeiros termos da expansão (isto é, até k=3) são:
\ln(16-x^{2})=\ln16-\frac{x^{2}}{16}-\frac{x^{4}}{2\cdot16^{2}}-\frac{x^{6}}{3\cdot16^{3}}-\cdots.
Para x=2 os termos numéricos são fáceis de computar (ver Passo 5). Note que, se eu usar a forma com soma em n do item (b) e tomar os primeiros 3 termos da soma \sum_{n=0}^{\infty}, os termos n=0,1,2 dão respectivamente 0,\;-(x/4)^{2},\;0; por isso a soma truncada aos três primeiros termos da forma com n ativa apenas o termo - (x/4)^{2}. Esse é o critério que vou usar para reproduzir o resultado pedido no item (c).

Passo 5

Item (c): erro relativo para x=2 usando os 3 primeiros termos da série do item (b).
Definição (que vou usar): erro relativo
\text{erro relativo}=\frac{|\,\text{valor aproximado}-\text{valor verdadeiro}\,|}{|\text{valor verdadeiro}|}\times 100\%.
Conforme explicado no Passo 4, “os 3 primeiros termos da série obtida no item (b)” — tomando a forma com soma em n e os termos n=0,1,2 — resultam na aproximação
f_{\text{approx}}(x)=2\ln4+\sum_{n=0}^{2}\frac{[(-1)^{n}-1]}{n+1}\left(\frac{x}{4}\right)^{n+1}.
Avaliando em x=2:
\left(\frac{2}{4}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}=0,25.
Como vimos, os termos com n=0 e n=2 são zero, e o único termo não nulo entre n=0,1,2 é n=1, que dá -\left(\dfrac{x}{4}\right)^{2}. Assim
f_{\text{approx}}(2)=2\ln4-\left(\frac{2}{4}\right)^{2}= \ln16 -0,25.
Numericamente,
f_{\text{approx}}(2)\approx 2,772588722239781-0,25=2,522588722239781.
O valor verdadeiro (Passo 2) é f(2)=\ln 12\approx2,4849066497880004. Logo o erro absoluto é
|\,2,522588722239781-2,4849066497880004\,|=0,03768207245178051.
O erro relativo em porcentagem é
\frac{0,03768207245178051}{2,4849066497880004}\times100\%\approx1,5166\%.
Arredondando para 2 casas decimais:
\boxed{1,52\%}.

Passo 6

Item (d): integrar a série obtida em (b) termo a termo e apresentar a primitiva.
Parto da expressão (forma com soma em n):
f(x)=2\ln4+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{[(-1)^{n}-1]}{n+1}\left(\frac{x}{4}\right)^{n+1},\qquad |x|<4.
Posso integrar termo a termo dentro do intervalo de convergência |x|<4. Integro cada parte:
  • A integral da constante 2\ln4 é 2x\ln4.
  • Para um termo genérico da soma faço a substituição u=\dfrac{x}{4}\Rightarrow du=\dfrac{dx}{4}. Então
\int \left(\frac{x}{4}\right)^{n+1}dx=4\int u^{n+1}du=4\frac{u^{n+2}}{n+2}=4\frac{(x/4)^{n+2}}{n+2}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{[(-1)^{n}-1]}{n+1} obtemos para cada n
\int \frac{[(-1)^{n}-1]}{n+1}\left(\frac{x}{4}\right)^{n+1}dx =4\frac{[(-1)^{n}-1]}{(n+1)(n+2)}\left(\frac{x}{4}\right)^{n+2}.
Somando tudo e acrescentando a constante de integração C, a primitiva é
\boxed{\,2x\ln4+4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{[(-1)^{n}-1]}{(n+1)(n+2)}\left(\frac{x}{4}\right)^{n+2}+C, \qquad |x|<4.}
Isso coincide com a forma indicada no enunciado.

Passo 7

Item (e): calcular o erro relativo da integral definida entre 0,2 e 1,7 usando os 2 primeiros termos da primitiva do item (d). Usar 5 casas decimais nos valores intermediários e arredondamento.
A primitiva geral do Passo 6 é
F(x)=2x\ln4+4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{[(-1)^{n}-1]}{(n+1)(n+2)}\left(\frac{x}{4}\right)^{n+2}+C.
Tomando os 2 primeiros termos da soma (isto é, n=0 e n=1), observamos:
  • para n=0: [(-1)^{0}-1]=0 → termo nulo;
  • para n=1: [(-1)^{1}-1]=-2 e o termo integrado fornece, como já calculado no Passo 6,
\text{contribuição } n=1 = -\frac{x^{3}}{48}.çã
Assim a primitiva truncada (usando os 2 primeiros termos da soma) é
F_{\text{trunc}}(x)=2x\ln4-\frac{x^{3}}{48}+C.
Agora avalio a integral definida aproximada:
\int_{0,2}^{1,7}\ln(16-x^{2})\,dx\approx F_{\text{trunc}}(1,7)-F_{\text{trunc}}(0,2).
Calculo os elementos com 5 casas decimais (usar vírgula decimal conforme pedido):
  • 2\ln4=2{,}772588722239781. Com 5 casas decimais: 2{,}77259.
  • F_{\text{trunc}}(1,7)=2(1,7)\ln4-\dfrac{1,7^{3}}{48}.
Calculo detalhado (mantendo precisão interna e apenas arredondando o resultado final do integral para 5 casas decimais):
  1. 2\ln4\approx2{,}772588722239781.
  2. 2(1,7)\ln4=1{,}7\cdot 2{,}772588722239781 \approx 4{,}712400\ldots (vou calcular com precisão):
2(1,7)\ln4=2{,}772588722239781\times1{,}7=4{,}712401\; (mais precisamente: 4{,}712401\;? \text{usarei o valor exato calculado abaixo}).
Mas é mais direto fazer 2\ln4\times(1{,}7-0{,}2)=2\ln4\times1{,}5 ao calcular diferença, procedimento adotado abaixo para evitar erros de arredondamento desnecessário.
Calculo direto da integral aproximada (diferença):
\int_{0,2}^{1,7}\ln(16-x^{2})\,dx \approx 2(1{,}7-0{,}2)\ln4 -\frac{1{,}7^{3}-0{,}2^{3}}{48}.
Agora calculo com precisão e depois arredondo a 5 casas decimais:
  • 1{,}7-0{,}2=1{,}5.
  • 2\ln4\approx2{,}772588722239781. Então
2(1{,}7-0{,}2)\ln4=2{,}772588722239781\times1{,}5=4{,}158883083359672.
(Arredondo a 5 casas decimais só no final.)
  • 1{,}7^{3}=4{,}913.
  • 0{,}2^{3}=0{,}008.
  • Diferença 4{,}913-0{,}008}=4{,}905.
  • \dfrac{4{,}905}{48}=0{,}1021875.
Portanto a integral aproximada é
4{,}158883083359672-0{,}1021875=4{,}056695583359672.
Arredondando a 5 casas decimais:
\text{aproximação}\approx 4{,}05670.çã
O valor exato (fornecido no enunciado) é 4{,}05062. O erro absoluto é
|4{,}05670-4{,}05062|=0{,}00608\quad(\text{arredondado a 5 casas decimais}).
O erro relativo em porcentagem é
\frac{0{,}006075583359672285}{4{,}05062}\times100\%\approx0{,}15\%.
Arredondando conforme pedido (apresentação em percentual com duas casas decimais ou em notação curta), obtemos
\boxed{0,15\%}.

Resposta

(a) 2,48491
(b) 2\ln 4+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{[(-1)^{n}-1]}{n+1}\left(\frac{x}{4}\right)^{n+1},\qquad |x|<4
(c) 1,52\%
(d) 2x\ln4+4\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{[(-1)^{n}-1]}{(n+1)(n+2)}\left(\frac{x}{4}\right)^{n+2}+C
(e) 0,15\%

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