Considere a função
(a) Calcule
com 5 casas decimais e arredondamento.
R: 2,48491
(b) Encontre o termo geral da série de Taylor de
usando propriedades de logaritmo e as séries vistas em sala.
(c) Calcule o erro relativo para
usando os 3 primeiros termos da série obtida no item (b). Dê a resposta com 2 casas decimais e arredondamento.
R: 1.52%
(d) Calcule, numericamente, a integral indefinida de
, integrando a série obtida em (b)
(e) Dado que
calcule o erro relativo aplicando os limites de integração na resposta do item (c). Utilize os 2 primeiros termos e 5 casas decimais com arredondamento.
(b) Encontre o termo geral da série de Taylor de
(d) Calcule, numericamente, a integral indefinida de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede cinco coisas:
- (a) calcular
com 5 casas decimais (arredondamento); - (b) encontrar o termo geral da série de Taylor (Maclaurin) de
, usando propriedades do logaritmo e séries vistas em sala, e indicar o raio de convergência; - (c) para
, calcular o erro relativo usando os 3 primeiros termos da série do item (b) e dar a resposta com 2 casas decimais (arredondamento); - (d) integrar term‑a‑term a série obtida em (b) e apresentar a integral indefinida (constante de integração
); - (e) sabendo que
, usar os 2 primeiros termos da primitiva do item (d), aplicar os limites e e calcular o erro relativo (pediram usar 5 casas decimais nos valores intermediários e arredondamento).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Vamos usar a expansão de série de
e a propriedade do logaritmo
.
Passo 2
Calcular
.
Primeiro reescrevo o argumento do logaritmo:
Uso a fatoração
. Conhecemos valores aproximados (tabela básica ou calculadora):
e
. Então
Somando,
Arredondando para 5 casas decimais:
Passo 3
Encontrar a série de Taylor (Maclaurin) de
.
Usamos a propriedade do logaritmo para isolar uma parte do tipo
:
Defino
. Como
quando
, posso aplicar a série de
:
Portanto a expansão é
Observação:
, então posso escrever a constante como
.
Agora mostro a forma alternativa pedida no enunciado, que usa índice
. Começo da série
Outra escrita útil (a do enunciado) é
Para ver que essa forma é equivalente: o fator
é zero quando
é par e igual a
quando
é ímpar; ao selecionar apenas os
ímpares e reindexar
obtém‑se exatamente
, que é a mesma série negativa acima. Logo as duas formas são equivalentes.
Conclusão e raio de convergência:
Passo 4
(Cálculo explícito dos primeiros termos e observação para uso no item (c).)
Usando a forma mais direta
os primeiros termos da expansão (isto é, até
) são:
Para
os termos numéricos são fáceis de computar (ver Passo 5). Note que, se eu usar a forma com soma em
do item (b) e tomar os primeiros
termos da soma
, os termos
dão respectivamente
; por isso a soma truncada aos três primeiros termos da forma com
ativa apenas o termo
. Esse é o critério que vou usar para reproduzir o resultado pedido no item (c).
Passo 5
Item (c): erro relativo para
usando os 3 primeiros termos da série do item (b).
Definição (que vou usar): erro relativo
Conforme explicado no Passo 4, “os 3 primeiros termos da série obtida no item (b)” — tomando a forma com soma em
e os termos
— resultam na aproximação
Avaliando em
:
Como vimos, os termos com
e
são zero, e o único termo não nulo entre
é
, que dá
. Assim
Numericamente,
O valor verdadeiro (Passo 2) é
. Logo o erro absoluto é
O erro relativo em porcentagem é
Arredondando para 2 casas decimais:
Passo 6
Item (d): integrar a série obtida em (b) termo a termo e apresentar a primitiva.
Parto da expressão (forma com soma em
):
Posso integrar termo a termo dentro do intervalo de convergência
. Integro cada parte:
- A integral da constante
é . - Para um termo genérico da soma faço a substituição
. Então
Multiplicando pelo fator
obtemos para cada
Somando tudo e acrescentando a constante de integração
, a primitiva é
Isso coincide com a forma indicada no enunciado.
Passo 7
Item (e): calcular o erro relativo da integral definida entre
e
usando os 2 primeiros termos da primitiva do item (d). Usar 5 casas decimais nos valores intermediários e arredondamento.
A primitiva geral do Passo 6 é
Tomando os 2 primeiros termos da soma (isto é,
e
), observamos:
- para
: → termo nulo; - para
: e o termo integrado fornece, como já calculado no Passo 6,
Assim a primitiva truncada (usando os 2 primeiros termos da soma) é
Agora avalio a integral definida aproximada:
Calculo os elementos com 5 casas decimais (usar vírgula decimal conforme pedido):
-
. Com 5 casas decimais: . -
.
Calculo detalhado (mantendo precisão interna e apenas arredondando o resultado final do integral para 5 casas decimais):
-
. -
(vou calcular com precisão):
Mas é mais direto fazer
ao calcular diferença, procedimento adotado abaixo para evitar erros de arredondamento desnecessário.
Calculo direto da integral aproximada (diferença):
Agora calculo com precisão e depois arredondo a 5 casas decimais:
-
-
. Então
(Arredondo a 5 casas decimais só no final.)
-
. -
. - Diferença .
-
.
Portanto a integral aproximada é
Arredondando a 5 casas decimais:
O valor exato (fornecido no enunciado) é
. O erro absoluto é
O erro relativo em porcentagem é
Arredondando conforme pedido (apresentação em percentual com duas casas decimais ou em notação curta), obtemos
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)