que indica a série esperada (mas vamos deduzir passo a passo).
Passo 2
Calcular a derivada f'(x) passo a passo, usando a regra da cadeia e derivada de quociente. Defina t(x)=\dfrac{1-x}{1+x}. Então f(x)=\operatorname{atan}(t(x)). A regra da cadeia diz que
f'(x)=\frac{t'(x)}{1+t(x)^{2}}.
Agora calculamos t'(x). Usando derivada de quociente ou simplificando:
Observação didática rápida: a troca de ordem (escrever série e depois integrar) é permitida dentro do raio de convergência |x|<1, pois a série é uniformemente convergente em qualquer intervalo fechado contido em (-1,1).
Passo 4
Integrar termo a termo para recuperar f(x). Integrando a expressão de f'(x) obtemos
Comentário extra (útil na prova): esta série equivale a escrever f(x)=\pi/4-\operatorname{atan}(x) e usar a série conhecida de \operatorname{atan}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}; as duas abordagens chegam à mesma expressão.