Obtenha o termo geral da série de Taylor de
f(x)=\operatorname{atan}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)
em torno de x_{0}=0. Sugestão: Calcule a derivada primeira e aplique a série geométrica
\mathrm{R}: \pi / 4+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} x^{2 n+1} /(2 n+1) \quad|x|<1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\operatorname{atan}\!\left(\frac{1-x}{1+x}\right)
e pede: obter a série de Taylor de f em torno de x_{0}=0 (ou seja, a série de Maclaurin). Informações/condições relevantes fornecidas:
  • A função está escrita em termos de \operatorname{atan} (arctangente) aplicada à razão (1-x)/(1+x).
  • Foi dada uma sugestão: calcular a derivada primeira e usar a série geométrica; também foi fornecida a forma
\mathrm{R}:\\ \pi/4+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1} x^{2 n+1}}{2 n+1},\qquad |x|<1,
que indica a série esperada (mas vamos deduzir passo a passo).

Passo 2

Calcular a derivada f'(x) passo a passo, usando a regra da cadeia e derivada de quociente. Defina t(x)=\dfrac{1-x}{1+x}. Então f(x)=\operatorname{atan}(t(x)). A regra da cadeia diz que
f'(x)=\frac{t'(x)}{1+t(x)^{2}}.
Agora calculamos t'(x). Usando derivada de quociente ou simplificando:
t(x)=\frac{1-x}{1+x}.
Derivando:
t'(x)=\frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^{2}}=\frac{-1-x-1+x}{(1+x)^{2}}=\frac{-2}{(1+x)^{2}}.
Em seguida, calcule 1+t(x)^{2}. Primeiro escreva
t(x)^{2}=\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}=\frac{(1-x)^{2}}{(1+x)^{2}}.
Assim
1+t(x)^{2}=\frac{(1+x)^{2}+(1-x)^{2}}{(1+x)^{2}}=\frac{2+2x^{2}}{(1+x)^{2}}=\frac{2(1+x^{2})}{(1+x)^{2}}.
Agora coloque tudo em f'(x)=t'(x)/(1+t^{2}):
f'(x)=\frac{-2/(1+x)^{2}}{2(1+x^{2})/(1+x)^{2}}=\frac{-2}{1+x^{2}}\cdot\frac{(1+x)^{2}}{2(1+x)^{2}}=-\frac{1}{1+x^{2}}.
Portanto, de forma bem simpática:
f'(x)=-\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 3

Expandir f'(x) em série usando a série geométrica. Lembre que a série geométrica básica é
\frac{1}{1-y}=\sum_{n=0}^{\infty}y^{n},\qquad |y|<1.
Aqui temos 1/(1+x^{2}). Coloque y=-x^{2}. Então
\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{1}{1-(-x^{2})}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x^{2})^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n},\qquad |x|<1.
Multiplicando por -1 (porque f'(x)=-1/(1+x^{2})), obtemos a série para f'(x):
f'(x)=-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}x^{2n},\qquad |x|<1.
Observação didática rápida: a troca de ordem (escrever série e depois integrar) é permitida dentro do raio de convergência |x|<1, pois a série é uniformemente convergente em qualquer intervalo fechado contido em (-1,1).

Passo 4

Integrar termo a termo para recuperar f(x). Integrando a expressão de f'(x) obtemos
f(x)=C+\int f'(x)\,dx=C+\int\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}x^{2n}\,dx.
Integre cada termo: \int x^{2n}\,dx=x^{2n+1}/(2n+1). Assim
f(x)=C+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\qquad |x|<1.
Aqui C é a constante de integração (independente de x) que falta determinar.

Passo 5

Encontrar a constante C usando x=0. Calcule f(0) diretamente da definição:
f(0)=\operatorname{atan}\!\left(\frac{1-0}{1+0}\right)=\operatorname{atan}(1)=\frac{\pi}{4}.
Agora avalie a série em x=0: todos os termos somatórios têm fator x^{2n+1}, então valem 0 em x=0. Logo
f(0)=C+\underbrace{\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0^{2n+1}}{2n+1}}_{=0}=C.
Portanto C=\pi/4. Substituindo em f(x) obtemos
f(x)=\frac{\pi}{4}+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\qquad |x|<1.
Comentário extra (útil na prova): esta série equivale a escrever f(x)=\pi/4-\operatorname{atan}(x) e usar a série conhecida de \operatorname{atan}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}; as duas abordagens chegam à mesma expressão.

Resposta

f(x)=\frac{\pi}{4}+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\qquad |x|<1

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