Considere a função
f(x)=\operatorname{asin}(x)
(a) Calcule a integral indefinida de f
\mathrm{R}: x \cdot \operatorname{asin}(x)+\sqrt{1-x^{2}}+C
(b) Obtenha a série truncada de Taylor de f para x_{0}=0 calculando as derivadas de f até a 3{ }^{\mathrm{a}} ordem.
\mathrm{R}: f(x) \approx x+x^{3} / 6
(c) Calcule o valor verdadeiro da integral para os limites de integração de 0 a \sqrt{2} / 2. Sugestão: Substitua os limites de integração no resultado de (a).
R: 0,262467
(d) Obtenha o valor aproximado integrando o resultado de (b) e substituindo os limites de integração.
R: 0,2604167
(e) Calcule o erro relativo entre o valor aproximado e o verdadeiro utilizando 4 casas decimais e arredondamento. Expresse a resposta com 2 casas decimais e arredondamento.
R: 0,80%

Passo 1

O enunciado pede cinco coisas separadas, que vou listar claramente para não nos perdermos:
  • (a) Calcular a integral indefinida de \operatorname{asin}(x), isto é encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=\operatorname{asin}(x).
  • (b) Obter a série truncada de Taylor de f(x)=\operatorname{asin}(x) em torno de x_{0}=0 até a ordem 3, calculando as derivadas até a terceira ordem.
  • (c) Calcular o valor exato (verdadeiro) da integral definida \displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}/2}\operatorname{asin}(x)\,dx, usando a primitiva encontrada em (a).
  • (d) Obter uma aproximação da mesma integral integrando a série truncada de (b) e avaliando nos mesmos limites.
  • (e) Calcular o erro relativo entre o valor aproximado obtido em (d) e o valor verdadeiro de (c), seguindo a instrução: usar arredondamento para 4 casas decimais no passo intermediário e, ao final, expressar o erro com 2 casas decimais (porcentagem).
Informações relevantes dadas no enunciado (que vamos usar):
  • A função é f(x)=\operatorname{asin}(x).
  • O ponto de expansão para a série de Taylor é x_{0}=0.
  • O limite superior da integral é \sqrt{2}/2 e o inferior é 0.

Passo 2

(a) Vamos achar uma primitiva de \operatorname{asin}(x). Vou usar integração por partes — regra essencial e muito útil em provas. A fórmula da integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde escolhemos u e dv convenientemente.
Escolhas naturais aqui:
u=\operatorname{asin}(x),\qquad dv=dx.
Então
du=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx,\qquad v=x.
Aplicando a fórmula:
\int \operatorname{asin}(x)\,dx = x\cdot\operatorname{asin}(x) - \int x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Agora precisamos calcular \displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx. Fazemos a substituição clássica para raízes quadradas:
t=1-x^{2}\quad\Rightarrow\quad dt=-2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=-\frac{1}{2}\,dt.
Logo
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \int \frac{x\,dx}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2}\int t^{-1/2}\,dt = -\frac{1}{2}\cdot 2 t^{1/2} + C = -\sqrt{t}+C.
Voltando à variável x, t=1-x^{2}, então
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = -\sqrt{1-x^{2}} + C.
Substituindo isso na expressão obtida por partes:
\int \operatorname{asin}(x)\,dx = x\cdot\operatorname{asin}(x) - \bigl(-\sqrt{1-x^{2}}\bigr) + C.
Portanto a primitiva é
\boxed{\;x\cdot\operatorname{asin}(x)+\sqrt{1-x^{2}}+C\;}
(o +C é a constante de integração).

Passo 3

(b) Vamos construir a série de Taylor de f(x)=\operatorname{asin}(x) em torno de 0 até a ordem 3. A fórmula de Taylor centrada em 0 (polinômio de Taylor de ordem 3) é
f(x)\approx f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^{3}.
Precisamos, então, das derivadas até a terceira ordem.
  1. Primeira derivada: usar regra da cadeia para (1-x^{2})^{-1/2}.
f'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{asin}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=(1-x^{2})^{-1/2}.
  1. Segunda derivada: derivando f'(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl((1-x^{2})^{-1/2}\bigr)= -\tfrac{1}{2}(1-x^{2})^{-3/2}\cdot(-2x)=\frac{x}{(1-x^{2})^{3/2}}.
  1. Terceira derivada: derivando f''(x)=x(1-x^{2})^{-3/2}. Aplicamos a regra do produto:
f^{(3)}(x) = 1\cdot(1-x^{2})^{-3/2} + x\cdot\frac{d}{dx}\bigl((1-x^{2})^{-3/2}\bigr).
A derivada do fator é
\frac{d}{dx}\bigl((1-x^{2})^{-3/2}\bigr)= -\tfrac{3}{2}(1-x^{2})^{-5/2}\cdot(-2x)=3x(1-x^{2})^{-5/2}.
Então
f^{(3)}(x)=(1-x^{2})^{-3/2}+x\cdot 3x(1-x^{2})^{-5/2}=(1-x^{2})^{-5/2}\bigl((1-x^{2})+3x^{2}\bigr).
Simplificando o parêntese:
(1-x^{2})+3x^{2}=1+2x^{2},
logo
\boxed{f^{(3)}(x)=\frac{1+2x^{2}}{(1-x^{2})^{5/2}}.}
Agora avaliamos todas as derivadas em x=0:
f(0)=\operatorname{asin}(0)=0,
f'(0)=\frac{1}{\sqrt{1-0}}=1,
f''(0)=\frac{0}{(1-0)^{3/2}}=0,
f^{(3)}(0)=\frac{1+2\cdot 0}{(1-0)^{5/2}}=1.
Substituindo na fórmula de Taylor:
f(x)\approx 0 + 1\cdot x + \frac{0}{2}x^{2} + \frac{1}{6}x^{3} = x+\frac{x^{3}}{6}.
Portanto o polinômio truncado de ordem 3 (termo cúbico) é
\boxed{\;f(x)\approx x+\frac{x^{3}}{6}\;.}

Passo 4

(c) Calcular a integral definida \displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}/2}\operatorname{asin}(x)\,dx usando a primitiva de (a).
A primitiva geral é F(x)=x\cdot\operatorname{asin}(x)+\sqrt{1-x^{2}}+C. Para a integral definida usamos F sem a constante e fazemos F\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)-F(0).
Chamando a=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, observações úteis (identidades trigonométricas básicas):
\operatorname{asin}\!\bigl(a\bigr)=\operatorname{asin}\!\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4},
e
\sqrt{1-a^{2}}=\sqrt{1-\tfrac{1}{2}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}=a.
Então
F(a)=a\cdot\frac{\pi}{4}+a.
E
F(0)=0\cdot\operatorname{asin}(0)+\sqrt{1-0}=1.
Portanto a integral é
\int_{0}^{a}\operatorname{asin}(x)\,dx = F(a)-F(0)=a\Bigl(\frac{\pi}{4}+1\Bigr)-1.
Substituindo a=\tfrac{\sqrt{2}}{2} e calculando numericamente (com precisão suficiente) obtemos
\int_{0}^{\sqrt{2}/2}\operatorname{asin}(x)\,dx \approx 0,262467266\ldots
Arredondando ao formato indicado pelo enunciado (seis casas decimais mostrado no enunciado), obtemos
\boxed{0,262467}.

Passo 5

(d) Agora aproximamos a integral integrando o polinômio truncado de (b):
f_{\text{approx}}(x)=x+\frac{x^{3}}{6}.
Integrando termo a termo:
\int \left(x+\frac{x^{3}}{6}\right)dx = \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+C.
Avaliando de 0 até a=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, observe que
a^{2}=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{2},\qquad a^{4}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}.
Então o valor aproximado é
\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{4}}{24}=\frac{1/2}{2}+\frac{1/4}{24}=\frac{1}{4}+\frac{1}{96}=\frac{25}{96}.
Em decimal,
\frac{25}{96}=0,2604166666\ldots
Arredondando conforme o enunciado (eles deram 0,2604167):
\boxed{0,2604167}.

Passo 6

(e) Vamos calcular o erro relativo entre o valor aproximado e o verdadeiro seguindo exatamente as instruções: primeiro usar 4 casas decimais com arredondamento para os valores envolvidos; depois calcular o erro relativo e, por fim, apresentar o resultado como porcentagem com 2 casas decimais arredondadas.
  1. Arredondamos os valores para 4 casas decimais:
\text{valor verdadeiro} \approx 0,262467266\ldots \longrightarrow 0,2625,
\text{valor aproximado} \approx 0,260416666\ldots \longrightarrow 0,2604.
  1. Calculamos o erro absoluto usando esses valores arredondados:
\Delta = \bigl|0,2604 - 0,2625\bigr| = 0,0021.
  1. Erro relativo (fração) é \displaystyle \frac{\Delta}{\text{valor verdadeiro arredondado}}:
\frac{0,0021}{0,2625}=0,008.
  1. Em porcentagem:
0,008\times 100\% = 0,8\%.
  1. Finalmente expressamos com duas casas decimais e arredondamento:
\boxed{0,80\%}.

Resposta

(a) x\cdot\operatorname{asin}(x)+\sqrt{1-x^{2}}+C
(b) f(x)\approx x+\dfrac{x^{3}}{6}
(c) 0,262467
(d) 0,2604167
(e) 0,80\%

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