\mathrm{R}: x \cdot \operatorname{asin}(x)+\sqrt{1-x^{2}}+C
(b) Obtenha a série truncada de Taylor de f para x_{0}=0 calculando as derivadas de f até a 3{ }^{\mathrm{a}} ordem.
\mathrm{R}: f(x) \approx x+x^{3} / 6
(c) Calcule o valor verdadeiro da integral para os limites de integração de 0 a \sqrt{2} / 2. Sugestão: Substitua os limites de integração no resultado de (a).
R: 0,262467
(d) Obtenha o valor aproximado integrando o resultado de (b) e substituindo os limites de integração.
R: 0,2604167
(e) Calcule o erro relativo entre o valor aproximado e o verdadeiro utilizando 4 casas decimais e arredondamento. Expresse a resposta com 2 casas decimais e arredondamento.
R: 0,80%
Passo 1
O enunciado pede cinco coisas separadas, que vou listar claramente para não nos perdermos:
(a) Calcular a integral indefinida de \operatorname{asin}(x), isto é encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=\operatorname{asin}(x).
(b) Obter a série truncada de Taylor de f(x)=\operatorname{asin}(x) em torno de x_{0}=0 até a ordem 3, calculando as derivadas até a terceira ordem.
(c) Calcular o valor exato (verdadeiro) da integral definida \displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}/2}\operatorname{asin}(x)\,dx, usando a primitiva encontrada em (a).
(d) Obter uma aproximação da mesma integral integrando a série truncada de (b) e avaliando nos mesmos limites.
(e) Calcular o erro relativo entre o valor aproximado obtido em (d) e o valor verdadeiro de (c), seguindo a instrução: usar arredondamento para 4 casas decimais no passo intermediário e, ao final, expressar o erro com 2 casas decimais (porcentagem).
Informações relevantes dadas no enunciado (que vamos usar):
A função é f(x)=\operatorname{asin}(x).
O ponto de expansão para a série de Taylor é x_{0}=0.
O limite superior da integral é \sqrt{2}/2 e o inferior é 0.
Passo 2
(a) Vamos achar uma primitiva de \operatorname{asin}(x). Vou usar integração por partes — regra essencial e muito útil em provas. A fórmula da integração por partes é
(b) Vamos construir a série de Taylor de f(x)=\operatorname{asin}(x) em torno de 0 até a ordem 3. A fórmula de Taylor centrada em 0 (polinômio de Taylor de ordem 3) é
Portanto o polinômio truncado de ordem 3 (termo cúbico) é
\boxed{\;f(x)\approx x+\frac{x^{3}}{6}\;.}
Passo 4
(c) Calcular a integral definida \displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}/2}\operatorname{asin}(x)\,dx usando a primitiva de (a).
A primitiva geral é F(x)=x\cdot\operatorname{asin}(x)+\sqrt{1-x^{2}}+C. Para a integral definida usamos F sem a constante e fazemos F\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)-F(0).
Arredondando conforme o enunciado (eles deram 0,2604167):
\boxed{0,2604167}.
Passo 6
(e) Vamos calcular o erro relativo entre o valor aproximado e o verdadeiro seguindo exatamente as instruções: primeiro usar 4 casas decimais com arredondamento para os valores envolvidos; depois calcular o erro relativo e, por fim, apresentar o resultado como porcentagem com 2 casas decimais arredondadas.