Obtenha o termo geral da série de Taylor de f(x)=x^{2} \cos \left(x^{3}\right) em torno de x_{0}=0. Sugestão: Utilize, como base, a série de \cos x vista em sala de aula.
\mathrm{R}: \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{6 n+2} /(2 n)!\quad x \in \mathbb{R}
Passo 1
O que o problema pede: obter o termo geral da série de Taylor de f(x)=x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr) em torno de x_{0}=0.
Informações dadas/úteis que temos: a sugestão do enunciado indica usar a série de \cos x vista em sala. Também anoto que queremos o termo geral (uma expressão em função do índice n) e o conjunto de x em que a série converge.
Passo 2
Lembra rapidinho o que é a série de Taylor em torno de 0 (série de Maclaurin): se uma função g é infinitamente diferenciável em 0, sua série de Maclaurin é
onde g^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de g avaliada em 0 e k! é o fatorial de k. No caso de \cos x já conhecemos a forma fechada dessa série (isto é clássico):
Explicação dos símbolos: o índice n varia em 0,1,2,\dots; (2n)! significa o fatorial do número 2n (produto 1\cdot2\cdot3\cdots(2n)); o sinal (-1)^n alterna o sinal dos termos.
Passo 3
Agora vamos aplicar a ideia da sugestão: substituir x por x^{3} dentro da série de \cos x. Substituição em séries de potência é válida quando fazemos x\mapsto h(x) com h(0)=0, desde que consideremos os mesmos índices. Fazendo a troca:
A função que queremos é f(x)=x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr). Como temos uma série para \cos\bigl(x^{3}\bigr), multiplicamos termo a termo por x^{2} (isto é permitido: multiplicar uma série de potências por um monômio apenas aumenta o expoente de cada termo). Assim:
Se quiser visualizar os primeiros termos (pra ficar mais concreto): tomando n=0,1,2 obtemos
x^{2}-\frac{x^{8}}{2!}+\frac{x^{14}}{4!}-\cdots,
que bate com a forma geral acima.
Passo 6
Sobre convergência (pra saber onde essa série vale): podemos usar o teste da razão em relação ao índice n (mantendo x fixo) para os termos \displaystyle a_{n}=\frac{x^{6n+2}}{(2n)!}. Calculando
para todo x fixo (pois o denominador cresce quadráticamente em n). Como o limite é 0<1 para todo x, a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Isto coincide com a informação conhecida de que \cos x tem raio de convergência infinito; a substituição e a multiplicação por x^{2} preservam essa propriedade.