Considere a função
.
(a) Mostre que
possui apenas uma raiz no intervalo
.
(a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função
e precisa mostrar que essa função tem só uma única raiz no intervalo
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo, como continuidade e derivadas, para entender o comportamento da função nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o valor de
nos extremos do intervalo para ver se realmente há uma raiz aí. A função é contínua porque é uma combinação de funções contínuas (exponencial e polinomial).
Calculando em
:
E em
:
Vimos que
e
, o que indica, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos garantir que essa raiz seja única. Para isso, vamos analisar a derivada da função, que nos mostra se a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de
é:
Vamos verificar o sinal de
no intervalo
.
Em
:
Em
:
Como
em todo o intervalo, a função é estritamente crescente lá. Isso significa que ela passa de um valor negativo para um positivo uma única vez, garantindo que haja somente uma raiz nesse intervalo.
Resposta
A função
possui exatamente uma única raiz no intervalo
.