Considere a função f(x)=e^x-4 x^2.
(a) Mostre que f(x) possui apenas uma raiz no intervalo [4,4.5].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função e precisa mostrar que essa função tem só uma única raiz no intervalo . Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo, como continuidade e derivadas, para entender o comportamento da função nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o valor de f(4) = e^4 - 4 times 4^2 = e^4 - 64 approx 54.598 - 64 = -9.402 nos extremos do intervalo para ver se realmente há uma raiz aí. A função é contínua porque é uma combinação de funções contínuas (exponencial e polinomial).
Calculando em f(4.5) = e^4.5 - 4 times (4.5)^2 approx 90.017 - 81 = 9.017 :
E em :
Vimos que e , o que indica, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos garantir que essa raiz seja única. Para isso, vamos analisar a derivada da função, que nos mostra se a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de f'(x) = e^x - 8x é:
f'(4) = e^4 - 32 approx 54.598 - 32 = 22.598 > 0
Vamos verificar o sinal de f'(4.5) = e^4.5 - 36 approx 90.017 - 36 = 54.017 > 0 no intervalo .
Em :
Em :
Como em todo o intervalo, a função é estritamente crescente lá. Isso significa que ela passa de um valor negativo para um positivo uma única vez, garantindo que haja somente uma raiz nesse intervalo.

Resposta

A função possui exatamente uma única raiz no intervalo .

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