Determinar o Polinômio Interpolador de Newton-Gregory. Escrever o polinômio na sua forma geral e, a seguir, fazer o desenvolvimento algébrico necessário para a sua redução.
x | -1 | 0 | 2 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
y | 2 | 10 | a | 20 | 20 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você quer determinar o Polinômio Interpolador de Newton-Gregory usando os pontos dados na tabela:
x | -1 | 0 | 2 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
y | 2 | 10 | a | 20 | 20 |
O que vamos precisar:
- Interpolação de Newton-Gregory: É um método para encontrar um polinômio que passa por um conjunto de pontos dados.
- Divided Differences (Diferenças Divididas): Ferramenta usada para construir o polinômio de interpolação.
- Fórmula de Newton: Para escrever o polinômio na forma geral.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados para aplicar as diferenças divididas. Como os valores de x não são igualmente espaçados, usaremos o método de diferenças divididas de Newton.
Vamos construir uma tabela de diferenças divididas:
x | y | Δy | Δ²y | Δ³y | Δ⁴y |
---|---|---|---|---|---|
-1 | 2 | ||||
0 | 10 | ||||
2 | a | ||||
4 | 20 | ||||
5 | 20 |
Passo 3
Calculando as primeiras diferenças divididas (Δy):
Vamos calcular:
- Entre x = -1 e x = 0:
- Entre x = 0 e x = 2:
- Entre x = 2 e x = 4:
- Entre x = 4 e x = 5:
Atualizando a tabela:
x | y | Δy | Δ²y | Δ³y | Δ⁴y |
---|---|---|---|---|---|
-1 | 2 | 8 | |||
0 | 10 |
|
|||
2 | a |
|
|||
4 | 20 | 0 | |||
5 | 20 |
Passo 4
Agora, vamos calcular as segundas diferenças divididas (Δ²y):
- Entre x = -1, 0 e 2:
- Entre x = 0, 2 e 4:
- Entre x = 2, 4 e 5:
Atualizando a tabela:
x | y | Δy | Δ²y | Δ³y | Δ⁴y |
---|---|---|---|---|---|
-1 | 2 | 8 |
|
||
0 | 10 |
|
|
||
2 | a |
|
|
||
4 | 20 | 0 | |||
5 | 20 |
Passo 5
Continuando, vamos calcular as terceiras diferenças divididas (Δ³y):
- Entre x = -1, 0, 2 e 4:
- Entre x = 0, 2, 4 e 5:
Atualizando a tabela:
x | y | Δy | Δ²y | Δ³y | Δ⁴y |
---|---|---|---|---|---|
-1 | 2 | 8 |
|
|
|
0 | 10 |
|
|
|
|
2 | a |
|
|
||
4 | 20 | 0 | |||
5 | 20 |
Passo 6
Por fim, calculamos a quarta diferença dividida (Δ⁴y):
Entre x = -1, 0, 2, 4 e 5:
Passo 7
Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos construir o Polinômio de Newton. A fórmula geral é:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 8
Resposta Final:
O Polinômio Interpolador de Newton-Gregory é: