Determinar o Polinômio Interpolador de Newton-Gregory. Escrever o polinômio na sua forma geral e, a seguir, fazer o desenvolvimento algébrico necessário para a sua redução.
x -1 0 2 4 5
y 2 10 a 20 20

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você quer determinar o Polinômio Interpolador de Newton-Gregory usando os pontos dados na tabela:
x -1 0 2 4 5
y 2 10 a 20 20
O que vamos precisar:
  • Interpolação de Newton-Gregory: É um método para encontrar um polinômio que passa por um conjunto de pontos dados.
  • Divided Differences (Diferenças Divididas): Ferramenta usada para construir o polinômio de interpolação.
  • Fórmula de Newton: Para escrever o polinômio na forma geral.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados para aplicar as diferenças divididas. Como os valores de x não são igualmente espaçados, usaremos o método de diferenças divididas de Newton.
Vamos construir uma tabela de diferenças divididas:
x y Δy Δ²y Δ³y Δ⁴y
-1 2
0 10
2 a
4 20
5 20

Passo 3

Calculando as primeiras diferenças divididas (Δy):
Δy = yi+1 - yixi+1 - xi
Vamos calcular:
  1. Entre x = -1 e x = 0:
Δy1 = 10 - 20 - (-1) = 81 = 8
  1. Entre x = 0 e x = 2:
Δy2 = a - 102 - 0 = a - 102
  1. Entre x = 2 e x = 4:
Δy3 = 20 - a4 - 2 = 20 - a2
  1. Entre x = 4 e x = 5:
Δy4 = 20 - 205 - 4 = 01 = 0
Atualizando a tabela:
x y Δy Δ²y Δ³y Δ⁴y
-1 2 8
0 10
2 a
4 20 0
5 20

Passo 4

Agora, vamos calcular as segundas diferenças divididas (Δ²y):
Δ²y = Δyi+1 - Δyixi+2 - xi ²
  1. Entre x = -1, 0 e 2:
Δ²y1 = a - 102 - 82 - (-1) = a - 10 - 1623 = a - 2623 = a - 266 ²
  1. Entre x = 0, 2 e 4:
Δ²y2 = 20 - a2 - a - 1024 - 0 = 20 - a - a + 1024 = 30 - 2a24 = 30 - 2a8 = 15 - a4 ²
  1. Entre x = 2, 4 e 5:
Δ²y3 = 0 - 20 - a25 - 2 = -20 - a23 = -20 - a6 ²
Atualizando a tabela:
x y Δy Δ²y Δ³y Δ⁴y
-1 2 8
0 10
2 a
4 20 0
5 20

Passo 5

Continuando, vamos calcular as terceiras diferenças divididas (Δ³y):
Δ³y = Δ²yi+1 - Δ²yixi+3 - xi ³²²
  1. Entre x = -1, 0, 2 e 4:
Δ³y1 = 15 - a4 - a - 2664 - (-1) = (15 - a) times 3 - (a - 26) times 2125 = 45 - 3a - 2a + 52125 = 97 - 5a60 ³
  1. Entre x = 0, 2, 4 e 5:
Δ³y2 = -20 - a6 - 15 - a45 - 0 = -(20 - a) times 2 - (15 - a) times 3125 = -40 + 2a - 45 + 3a125 = -85 + 5a60 ³
Atualizando a tabela:
x y Δy Δ²y Δ³y Δ⁴y
-1 2 8
0 10
2 a
4 20 0
5 20

Passo 6

Por fim, calculamos a quarta diferença dividida (Δ⁴y):
Δ⁴y = Δ³yi+1 - Δ³yixi+4 - xi ³³
Entre x = -1, 0, 2, 4 e 5:
Δ⁴y = -85 - 5a60 - 97 - 5a605 - (-1) = -85 + 5a -97 + 5a606 = -182 + 10a360 = -91 + 5a180

Passo 7

Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos construir o Polinômio de Newton. A fórmula geral é:
P(x) = y0 + Δy0(x - x0) + Δ²y0(x - x0)(x - x1) + Δ³y0(x - x0)(x - x1)(x - x2) + Δ⁴y0(x - x0)(x - x1)(x - x2)(x - x3) ²³
Substituindo os valores que calculamos:
P(x) = 2 + 8(x + 1) + a - 266(x + 1)(x) + 97 - 5a60(x + 1)(x)(x - 2) + -91 + 5a180(x + 1)(x)(x - 2)(x - 4)

Passo 8

Resposta Final:
O Polinômio Interpolador de Newton-Gregory é:
P(x) = 2 + 8(x + 1) + a - 266(x + 1)x + 97 - 5a60(x + 1)x(x - 2) + -91 + 5a180(x + 1)x(x - 2)(x - 4)

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