Considere a função f(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0.5. Determine \bar{x} tal que f(\bar{x})=0, usando:
Determine uma raiz para f(x) dada, com o Software Numérico, usando o Método de Newton e \varepsilon=0.0001 - Referência [1].

Passo 1

O enunciado pede para determinar \bar{x} tal que f(\bar{x})=0 para a função
f(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0,5,
usando o Método de Newton com tolerância \varepsilon=0,0001. Informações dadas:
  • A função é f(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0,5.
  • O método a usar é o Método de Newton.
  • A tolerância (critério de parada) é \varepsilon=0,0001.

Passo 2

O que é o Método de Newton e por que funciona (explicação didática):
  • Newton é um método iterativo para resolver f(x)=0. A ideia é aproximar a curva y=f(x) por sua reta tangente em um ponto x_n e usar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{n+1}.
  • A fórmula do método de Newton é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui:
  • x_n é a aproximação atual;
  • f(x_n) é o valor da função nessa aproximação;
  • f'(x_n) é a derivada de f em x_n.
  • Critério de parada que vou usar (escolha explícita): vou parar quando |f(x_n)|<\varepsilon. Isso significa que o resíduo da equação é suficientemente pequeno. Também verificarei que a diferença entre iterações é pequena para segurança.

Passo 3

Calcular a derivada de f (passo teórico e prático):
  • Derivada da soma/diferença: a derivada de x é 1; a derivada de \operatorname{sen}(x) é \operatorname{cos}(x); a derivada de constante é 0.
  • Logo,
f'(x)=1-\operatorname{cos}(x).

Passo 4

Escolha do chute inicial x_0 (justificativa):
  • Usando o Teorema do Valor Intermediário: calculemos f em x=1 e x=2 para localizar um intervalo com mudança de sinal.
f(1)=1-\operatorname{sen}(1)-0,5=1-0,8414709848-0,5\approx -0,3414709848,
f(2)=2-\operatorname{sen}(2)-0,5=2-0,9092974268-0,5\approx 0,5907025732.
  • Como f(1)<0 e f(2)>0, existe pelo menos uma raiz em (1,2).
  • Escolho x_0=1,5 (ponto médio) como chute inicial: é simples e fica dentro do intervalo onde há mudança de sinal.

Passo 5

Primeira iteração de Newton (cálculos detalhados):
  • Calcule f(x_0) e f'(x_0) em x_0=1,5. Usarei valores conhecidos:
    • \operatorname{sen}(1,5)\approx 0,9974949866.
    • \operatorname{cos}(1,5)\approx 0,0707372017.
  • Então
f(1,5)=1,5-\operatorname{sen}(1,5)-0,5\approx 1,5-0,9974949866-0,5=0,0025050134.
f'(1,5)=1-\operatorname{cos}(1,5)\approx 1-0,0707372017=0,9292627983.
  • Aplico a fórmula de Newton:
x_1 = 1,5 - \dfrac{0,0025050134}{0,9292627983}.
  • Calcule a fração:
\dfrac{0,0025050134}{0,9292627983}\approx 0,0026953522.
  • Portanto
x_1\approx 1,5-0,0026953522=1,4973046478.

Passo 6

Avaliar f(x_1) e verificar critério de parada (detalhes numéricos):
  • Precisamos calcular f(1,4973046478):
    • Uma forma prática: observe que 1,4973046478 é próximo de \tfrac{\pi}{2} ( \tfrac{\pi}{2}\approx 1,5707963268), então \operatorname{sen}(1,4973)=\operatorname{cos}(0,0734916790) e podemos usar aproximações numéricas diretas.
    • Usando cálculo numérico (ou uma calculadora/soft numérico), obtemos
\operatorname{sen}(1,4973046478)\approx 0,9973001998.
  • Portanto
f(1,4973046478)\approx 1,4973046478-0,9973001998-0,5=0,0000044480\approx 4,448\times 10^{-6}.
  • Comparar com a tolerância \varepsilon=0,0001:
|f(1,4973046478)|\approx 0,0000044480 < 0,0001.
  • Como o resíduo já é menor que a tolerância, o critério de parada está satisfeito e podemos aceitar x_1 como solução dentro da tolerância pedida.

Passo 7

Verificação adicional rápida (opcional, para dar confiança):
  • Calcule f'(x_1) aproximadamente:
\operatorname{cos}(1,4973046478)\approx 0,073424\quad\Rightarrow\quad f'(1,4973046478)\approx 1-0,073424=0,926576.
  • Se fizesse uma segunda iteração:
\Delta=\dfrac{f(1,4973046478)}{f'(1,4973046478)}\approx \dfrac{4,448\times10^{-6}}{0,926576}\approx 4,80\times10^{-6},
x_2\approx 1,4973046478-4,80\times10^{-6}\approx 1,4972998478,
e o resíduo em x_2 seria da ordem de 10^{-11} (muito menor), mostrando convergência quadrática típica do método de Newton quando estamos próximos da raiz.

Resposta

\bar{x}\approx 1,4973046478

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