Considere a função
. Determine
tal que
, usando:
Determine uma raiz para f(x) dada, com o Software Numérico, usando o Método de Newton e
- Referência [1].
Determine uma raiz para f(x) dada, com o Software Numérico, usando o Método de Newton e
Passo 1
O enunciado pede para determinar
tal que
para a função
usando o Método de Newton com tolerância
. Informações dadas:
- A função é
. - O método a usar é o Método de Newton.
- A tolerância (critério de parada) é
.
Passo 2
O que é o Método de Newton e por que funciona (explicação didática):
- Newton é um método iterativo para resolver
. A ideia é aproximar a curva por sua reta tangente em um ponto e usar a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação . - A fórmula do método de Newton é
Aqui:
-
é a aproximação atual; -
é o valor da função nessa aproximação; -
é a derivada de em . - Critério de parada que vou usar (escolha explícita): vou parar quando
. Isso significa que o resíduo da equação é suficientemente pequeno. Também verificarei que a diferença entre iterações é pequena para segurança.
Passo 3
Calcular a derivada de
(passo teórico e prático):
- Derivada da soma/diferença: a derivada de
é ; a derivada de é ; a derivada de constante é . - Logo,
Passo 4
Escolha do chute inicial
(justificativa):
- Usando o Teorema do Valor Intermediário: calculemos
em e para localizar um intervalo com mudança de sinal.
- Como
e , existe pelo menos uma raiz em . - Escolho
(ponto médio) como chute inicial: é simples e fica dentro do intervalo onde há mudança de sinal.
Passo 5
Primeira iteração de Newton (cálculos detalhados):
- Calcule
e em . Usarei valores conhecidos: -
. -
.
-
- Então
- Aplico a fórmula de Newton:
- Calcule a fração:
- Portanto
Passo 6
Avaliar
e verificar critério de parada (detalhes numéricos):
- Precisamos calcular
: - Uma forma prática: observe que
é próximo de ( ), então e podemos usar aproximações numéricas diretas. - Usando cálculo numérico (ou uma calculadora/soft numérico), obtemos
- Uma forma prática: observe que
- Portanto
- Comparar com a tolerância
:
- Como o resíduo já é menor que a tolerância, o critério de parada está satisfeito e podemos aceitar
como solução dentro da tolerância pedida.
Passo 7
Verificação adicional rápida (opcional, para dar confiança):
- Calcule
aproximadamente:
- Se fizesse uma segunda iteração:
e o resíduo em
seria da ordem de
(muito menor), mostrando convergência quadrática típica do método de Newton quando estamos próximos da raiz.