Considere a função f(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0.5. Determine \bar{x} tal que f(\bar{x})=0, usando:
Método de Bisseção com \varepsilon=0.1.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar \bar{x} tal que f(\bar{x})=0, sendo f(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0,5.
  • Usar o método da Bisseção com tolerância \varepsilon=0,1.
Informações dadas:
  • A função f é f(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0,5.
  • Critério de parada: \varepsilon=0,1.
  • Não há outros intervalos iniciais fornecidos no enunciado (há uma imagem anexa, ver seção de imagens).

Passo 2

Breve aula sobre o Método da Bisseção (sem pular etapas):
  • Objetivo: achar uma aproximação da raiz da equação f(x)=0 num intervalo [a,b] onde f(a) e f(b) têm sinais opostos, isto é f(a)\cdot f(b)<0. Pela continuidade, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
  • Iteração: calcular o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2}. Avaliar f(m). Se f(m)=0 encontramos a raiz exata; senão substituímos o intervalo [a,b] por [a,m] ou [m,b] conforme o sinal de f(m) (mantendo sempre extremos com sinais opostos).
  • Critério de parada usado aqui: garantir que o erro da aproximação seja menor ou igual a \varepsilon. Uma forma segura é parar quando o semicomprimento do intervalo \dfrac{b-a}{2} for menor ou igual a \varepsilon. Assim, se ao final tivermos intervalo [a,b] com \dfrac{b-a}{2}\le\varepsilon, então o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2} satisfaz |m-x^*|\le\varepsilon, onde x^* é a raiz verdadeira.
  • Fórmulas importantes:
    • Ponto médio: m=\dfrac{a+b}{2}.
    • Critério de parada: pare quando \dfrac{b-a}{2}\le\varepsilon.

Passo 3

Escolha de um intervalo inicial [a,b] com mudança de sinal:
  • Testar x=0: f(0)=0-\operatorname{sen}(0)-0,5 = -0,5.Logo f(0)=-0,5 (negativo).
  • Testar x=2: usar \operatorname{sen}(2)\approx0,909297, f(2)=2-\operatorname{sen}(2)-0,5 \approx 2-0,909297-0,5 = 0,590703.Logo f(2)\approx0,590703 (positivo).
  • Como f(0)\cdot f(2)<0, o intervalo inicial pode ser [a,b]=[0,2]. Portanto existe pelo menos uma raiz em [0,2].

Passo 4

Iteração 1:
  • Calcular o ponto médio: m_1=\dfrac{0+2}{2}=1.
  • Avaliar f(1): usar \operatorname{sen}(1)\approx0,841471, f(1)=1-\operatorname{sen}(1)-0,5 \approx 1-0,841471-0,5 = -0,341471.Então f(1) é negativo.
  • Como f(1) e f(2) têm sinais opostos (negativo em m_1, positivo em b), a raiz está em [1,2]. Atualizar o intervalo para [a,b]=[1,2].

Passo 5

Iteração 2:
  • Ponto médio: m_2=\dfrac{1+2}{2}=1,5.
  • Avaliar f(1,5): usar \operatorname{sen}(1,5)\approx0,997495, f(1,5)=1,5-\operatorname{sen}(1,5)-0,5 \approx 1,5-0,997495-0,5 = 0,002505.Então f(1,5) é positivo (pequeno).
  • Como f(1) era negativo e f(1,5) positivo, a raiz está em [1,1,5]. Atualizar intervalo para [a,b]=[1,1,5].

Passo 6

Verificação do critério de parada após a iteração 2:
  • Calcular semicomprimento: \dfrac{b-a}{2}=\dfrac{1,5-1}{2}=0,25.
  • Como 0,25>0,1, ainda não satisfazemos \dfrac{b-a}{2}\le\varepsilon. Continuar as iterações.

Passo 7

Iteração 3:
  • Ponto médio: m_3=\dfrac{1+1,5}{2}=1,25.
  • Avaliar f(1,25): usar \operatorname{sen}(1,25)\approx0,948985, f(1,25)=1,25-\operatorname{sen}(1,25)-0,5 \approx 1,25-0,948985-0,5 = -0,198985.Então f(1,25) é negativo.
  • Como f(1,25) negativo e f(1,5) positivo, a raiz está em [1,25,\,1,5]. Atualizar intervalo para [a,b]=[1,25,\,1,5].

Passo 8

Verificação do critério de parada após a iteração 3:
  • Calcular semicomprimento: \dfrac{b-a}{2}=\dfrac{1,5-1,25}{2}=0,125.
  • Como 0,125>0,1, ainda não atingimos a tolerância. Prosseguir.

Passo 9

Iteração 4:
  • Ponto médio: m_4=\dfrac{1,25+1,5}{2}=1,375.
  • Avaliar f(1,375): aproximando \operatorname{sen}(1,375) por interpolação entre valores conhecidos, usa-se \operatorname{sen}(1,375)\approx0,973240, f(1,375)=1,375-\operatorname{sen}(1,375)-0,5 \approx 1,375-0,973240-0,5 = -0,098240.Então f(1,375) é negativo.
  • Como f(1,375) negativo e f(1,5) positivo, a raiz está em [1,375,\,1,5]. Atualizar intervalo para [a,b]=[1,375,\,1,5].

Passo 10

Verificação do critério de parada após a iteração 4:
  • Calcular semicomprimento: \dfrac{b-a}{2}=\dfrac{1,5-1,375}{2}=0,0625.
  • Agora 0,0625\le 0,1. Pelo critério escolhido, podemos parar: o erro ao tomar o ponto médio do intervalo atual como aproximação é no máximo 0,0625\le\varepsilon.

Passo 11

Construção da aproximação final:
  • Tomar a aproximação final como o ponto médio do intervalo final: \bar{x}=\dfrac{1,375+1,5}{2}=1,4375.
  • Conferência rápida (opcional): \operatorname{sen}(1,4375)\approx0,985368 (aprox.), então f(1,4375)\approx 1,4375-0,985368-0,5 \approx -0,047868,o que confirma que f(1,4375) é próximo de zero e que a raiz real está dentro de 0,0625 de \bar{x}, portanto dentro de \varepsilon=0,1.

Resposta

1,4375

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