Considere a função
. Determine
tal que
, usando:
Método de Bisseção com
.
Método de Bisseção com
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Encontrar
tal que , sendo . - Usar o método da Bisseção com tolerância
.
Informações dadas:
- A função
é . - Critério de parada:
. - Não há outros intervalos iniciais fornecidos no enunciado (há uma imagem anexa, ver seção de imagens).
Passo 2
Breve aula sobre o Método da Bisseção (sem pular etapas):
- Objetivo: achar uma aproximação da raiz da equação
num intervalo onde e têm sinais opostos, isto é . Pela continuidade, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. - Iteração: calcular o ponto médio
. Avaliar . Se encontramos a raiz exata; senão substituímos o intervalo por ou conforme o sinal de (mantendo sempre extremos com sinais opostos). - Critério de parada usado aqui: garantir que o erro da aproximação seja menor ou igual a
. Uma forma segura é parar quando o semicomprimento do intervalo for menor ou igual a . Assim, se ao final tivermos intervalo com , então o ponto médio satisfaz , onde é a raiz verdadeira. - Fórmulas importantes:
- Ponto médio:
. - Critério de parada: pare quando
.
- Ponto médio:
Passo 3
Escolha de um intervalo inicial
com mudança de sinal:
- Testar
: Logo (negativo). - Testar
: usar , Logo (positivo). - Como
, o intervalo inicial pode ser . Portanto existe pelo menos uma raiz em .
Passo 4
Iteração 1:
- Calcular o ponto médio:
- Avaliar
: usar , Então é negativo. - Como
e têm sinais opostos (negativo em , positivo em ), a raiz está em . Atualizar o intervalo para .
Passo 5
Iteração 2:
- Ponto médio:
- Avaliar
: usar , Então é positivo (pequeno). - Como
era negativo e positivo, a raiz está em . Atualizar intervalo para .
Passo 6
Verificação do critério de parada após a iteração 2:
- Calcular semicomprimento:
- Como
, ainda não satisfazemos . Continuar as iterações.
Passo 7
Iteração 3:
- Ponto médio:
- Avaliar
: usar , Então é negativo. - Como
negativo e positivo, a raiz está em . Atualizar intervalo para .
Passo 8
Verificação do critério de parada após a iteração 3:
- Calcular semicomprimento:
- Como
, ainda não atingimos a tolerância. Prosseguir.
Passo 9
Iteração 4:
- Ponto médio:
- Avaliar
: aproximando por interpolação entre valores conhecidos, usa-se , Então é negativo. - Como
negativo e positivo, a raiz está em . Atualizar intervalo para .
Passo 10
Verificação do critério de parada após a iteração 4:
- Calcular semicomprimento:
- Agora
. Pelo critério escolhido, podemos parar: o erro ao tomar o ponto médio do intervalo atual como aproximação é no máximo .
Passo 11
Construção da aproximação final:
- Tomar a aproximação final como o ponto médio do intervalo final:
- Conferência rápida (opcional):
(aprox.), então o que confirma que é próximo de zero e que a raiz real está dentro de de , portanto dentro de .