Sabendo-se que K é a soma dos quadrados das distâncias de um ponto P do plano definido por ABCD aos vértices de A B C D, determine
a) o valor mínimo de K e a posição do ponto P na qual ocorre este mínimo;
b) o lugar geométrico de P para \mathrm{K}=4 \mathrm{l}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero A B C D no plano e define, para um ponto P qualquer do plano, a quantidade
K(P)=PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+PD^{2}.
Pede-se:
  • (a) o valor mínimo de K e a posição do ponto P em que esse mínimo ocorre;
  • (b) o lugar geométrico dos pontos P tais que K=4\,l^{2} (onde l é um dado positivo).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os pontos fixos são A,B,C,D.
  • K(P) é a soma dos quadrados das distâncias de P a esses quatro pontos.
  • Não foi dada nenhuma coordenada numérica: a solução deve ser em termos geométricos/algébricas gerais.

Passo 2

Vou introduzir uma notação vetorial conveniente (isso facilita a álgebra e é totalmente equivalente a trabalhar com coordenadas). Para qualquer ponto X escrevo o vetor posição \vec{X}. Seja
\vec{G}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{4}.
Explicação didática: \vec{G} é a média aritmética dos vetores posição dos quatro vértices; geometricamente, G é o ponto médio do segmento que une os pontos médios das diagonais e também o ponto de interseção das bimedians (segmentos que ligam os pontos médios de lados opostos). Em coordenadas, as componentes de G são as médias das componentes de A,B,C,D.

Passo 3

Quero reescrever K(P) de forma que apareça a distância de P a G. Começo expandindo cada termo como quadrado de norma (notação \|\cdot\| para a norma euclidiana):
K(P)=\|\vec{P}-\vec{A}\|^{2}+\|\vec{P}-\vec{B}\|^{2}+\|\vec{P}-\vec{C}\|^{2}+\|\vec{P}-\vec{D}\|^{2}.
Agora uso a identidade algébrica \|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2} e somo os quatro termos. Obtemos
\begin{aligned} K(P) &=4\|\vec{P}\|^{2}-2\vec{P}\cdot(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+\vec{D})+(\|\vec{A}\|^{2}+\|\vec{B}\|^{2}+\|\vec{C}\|^{2}+\|\vec{D}\|^{2})\\[4pt] &=4\|\vec{P}\|^{2}-2\cdot 4\,\vec{P}\cdot\vec{G}+(\|\vec{A}\|^{2}+\|\vec{B}\|^{2}+\|\vec{C}\|^{2}+\|\vec{D}\|^{2})\\[4pt] &=4\big(\|\vec{P}\|^{2}-2\vec{P}\cdot\vec{G}+\|\vec{G}\|^{2}\big)+(\|\vec{A}\|^{2}+\|\vec{B}\|^{2}+\|\vec{C}\|^{2}+\|\vec{D}\|^{2})-4\|\vec{G}\|^{2}\\[4pt] &=4\|\vec{P}-\vec{G}\|^{2}+\Big(\|\vec{A}\|^{2}+\|\vec{B}\|^{2}+\|\vec{C}\|^{2}+\|\vec{D}\|^{2}-4\|\vec{G}\|^{2}\Big). \end{aligned}
Explicação didática do passo: manipulei a soma dos quatro quadrados usando identidade bilinear e introduzi \vec{G} para agrupar termos; a última linha é importante porque separa a parte que depende de P (o termo com \|\vec{P}-\vec{G}\|^{2}) da parte que é constante (só depende de A,B,C,D).]

Passo 4

Identifico a constante que vem nessa decomposição:
K_{\min\_const}:=\|\vec{A}\|^{2}+\|\vec{B}\|^{2}+\|\vec{C}\|^{2}+\|\vec{D}\|^{2}-4\|\vec{G}\|^{2}.
Observação útil: essa constante é igual à soma dos quadrados das distâncias de G aos vértices:
K_{\min\_const}=\| \vec{G}-\vec{A}\|^{2}+\| \vec{G}-\vec{B}\|^{2}+\| \vec{G}-\vec{C}\|^{2}+\| \vec{G}-\vec{D}\|^{2},
pois expandindo esses quatro termos reobtém-se exatamente a combinação acima (pode verificar aplicando a mesma identidade \|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2} com \vec{u}=\vec{G} e somando).
Portanto a identidade fundamental que agora uso é
\boxed{\,K(P)=4\|\vec{P}-\vec{G}\|^{2}+K_{\min\_const}\,}
com K_{\min\_const}=\sum_{X\in\{A,B,C,D\}}\| \vec{G}-\vec{X}\|^{2}.

Passo 5

Dessa identidade concluímos a parte (a):
  • Para qualquer P, o termo 4\|\vec{P}-\vec{G}\|^{2} é não-negativo. Então K(P) atinge seu menor valor quando esse termo é zero, isto é, quando \vec{P}=\vec{G} (ou geometricamente P=G). Logo o ponto que minimiza K é o ponto
\boxed{\;G\; \text{ com } \vec{G}=\dfrac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{4}\;},
isto é, o ponto médio da linha que une os pontos médios das diagonais (ou, equivalentemente, a interseção das bimedians do quadrilátero).
  • O valor mínimo de K é então (substituindo \vec{P}=\vec{G} na identidade)
\boxed{\,K_{\min}=K(G)=K_{\min\_const}=\|GA\|^{2}+\|GB\|^{2}+\|GC\|^{2}+\|GD\|^{2}\,}.
Explicação prática: para calcular numericamente K_{\min} basta calcular as quatro distâncias de G aos vértices e somar os quadrados.

Passo 6

Agora a parte (b), o lugar geométrico de P tal que K(P)=4\,l^{2}.
Partindo da identidade
K(P)=4\|\vec{P}-\vec{G}\|^{2}+K_{\min},
impondo K(P)=4\,l^{2} obtemos
4\|\vec{P}-\vec{G}\|^{2}+K_{\min}=4\,l^{2} \quad\Longrightarrow\quad \|\vec{P}-\vec{G}\|^{2}=l^{2}-\frac{K_{\min}}{4}.
Logo o lugar geométrico é um círculo centrado em G de raio
\boxed{\,R=\sqrt{\,l^{2}-\dfrac{K_{\min}}{4}\,}\,}
desde que a quantidade dentro da raiz seja não negativa.

Passo 7

Condições e casos finais (muito importante para a prova):
  • Se l^{2}>\dfrac{K_{\min}}{4} então o lugar é o círculo de centro G e raio R=\sqrt{l^{2}-K_{\min}/4}.
  • Se l^{2}=\dfrac{K_{\min}}{4} então R=0 e o lugar reduz-se ao único ponto P=G.
  • Se l^{2}<\dfrac{K_{\min}}{4} então não existe P real que satisfaça K=4\,l^{2} (conjunto vazio), porque a soma dos quadrados não pode ser tão pequena.
Observação final encorajadora: a identidade usada é muito útil em competição/provas: para qualquer conjunto de n pontos fixos, a soma das distâncias ao quadrado de um ponto variável é minimizada na média dos vetores posição; o gráfico das curvas de nível dessa soma são círculos concêntricos com centro nessa média.

Resposta

(a) K_{\min}=\|GA\|^{2}+\|GB\|^{2}+\|GC\|^{2}+\|GD\|^{2}, e o mínimo ocorre em P=G com \displaystyle \vec{G}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{4}.\n
(b) O lugar geométrico é o círculo de centro G e raio \displaystyle R=\sqrt{\,l^{2}-\dfrac{K_{\min}}{4}\,}, quando l^{2}\ge\dfrac{K_{\min}}{4} (se l^{2}=\dfrac{K_{\min}}{4} o lugar é o ponto G; se l^{2}<\dfrac{K_{\min}}{4} não há pontos).

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