Sabendo-se que K é a soma dos quadrados das distâncias de um ponto P do plano definido por ABCD aos vértices de
, determine
a) o valor mínimo de K e a posição do ponto P na qual ocorre este mínimo;
b) o lugar geométrico de P para
.
a) o valor mínimo de K e a posição do ponto P na qual ocorre este mínimo;
b) o lugar geométrico de P para
Passo 1
O enunciado dá um quadrilátero
no plano e define, para um ponto
qualquer do plano, a quantidade
Pede-se:
- (a) o valor mínimo de
e a posição do ponto em que esse mínimo ocorre; - (b) o lugar geométrico dos pontos
tais que (onde é um dado positivo).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os pontos fixos são
. -
é a soma dos quadrados das distâncias de a esses quatro pontos. - Não foi dada nenhuma coordenada numérica: a solução deve ser em termos geométricos/algébricas gerais.
Passo 2
Vou introduzir uma notação vetorial conveniente (isso facilita a álgebra e é totalmente equivalente a trabalhar com coordenadas). Para qualquer ponto
escrevo o vetor posição
. Seja
Explicação didática:
é a média aritmética dos vetores posição dos quatro vértices; geometricamente,
é o ponto médio do segmento que une os pontos médios das diagonais e também o ponto de interseção das bimedians (segmentos que ligam os pontos médios de lados opostos). Em coordenadas, as componentes de
são as médias das componentes de
.
Passo 3
Quero reescrever
de forma que apareça a distância de
a
. Começo expandindo cada termo como quadrado de norma (notação
para a norma euclidiana):
Agora uso a identidade algébrica
e somo os quatro termos. Obtemos
Explicação didática do passo: manipulei a soma dos quatro quadrados usando identidade bilinear e introduzi
para agrupar termos; a última linha é importante porque separa a parte que depende de
(o termo com
) da parte que é constante (só depende de
).]
Passo 4
Identifico a constante que vem nessa decomposição:
Observação útil: essa constante é igual à soma dos quadrados das distâncias de
aos vértices:
pois expandindo esses quatro termos reobtém-se exatamente a combinação acima (pode verificar aplicando a mesma identidade
com
e somando).
Portanto a identidade fundamental que agora uso é
com
.
Passo 5
Dessa identidade concluímos a parte (a):
- Para qualquer
, o termo é não-negativo. Então atinge seu menor valor quando esse termo é zero, isto é, quando (ou geometricamente ). Logo o ponto que minimiza é o ponto
isto é, o ponto médio da linha que une os pontos médios das diagonais (ou, equivalentemente, a interseção das bimedians do quadrilátero).
- O valor mínimo de
é então (substituindo na identidade)
Explicação prática: para calcular numericamente
basta calcular as quatro distâncias de
aos vértices e somar os quadrados.
Passo 6
Agora a parte (b), o lugar geométrico de
tal que
.
Partindo da identidade
impondo
obtemos
Logo o lugar geométrico é um círculo centrado em
de raio
desde que a quantidade dentro da raiz seja não negativa.
Passo 7
Condições e casos finais (muito importante para a prova):
- Se
então o lugar é o círculo de centro e raio . - Se
então e o lugar reduz-se ao único ponto . - Se
então não existe real que satisfaça (conjunto vazio), porque a soma dos quadrados não pode ser tão pequena.
Observação final encorajadora: a identidade usada é muito útil em competição/provas: para qualquer conjunto de
pontos fixos, a soma das distâncias ao quadrado de um ponto variável é minimizada na média dos vetores posição; o gráfico das curvas de nível dessa soma são círculos concêntricos com centro nessa média.
Resposta
(a)
, e o mínimo ocorre em
com
.\n
(b) O lugar geométrico é o círculo de centro e raio
, quando
(se
o lugar é o ponto
; se
não há pontos).
(b) O lugar geométrico é o círculo de centro