A concentração de bactérias poluentes C em um lago diminui de acordo com a seguinte função:
Deseja-se determinar o tempo necessário para que a concentração de bactérias seja reduzida ao valor de 15 .
Resolva o problema usando o Método de Newton com aproximação inicial
e
.
Resolva o problema usando o Método de Newton com aproximação inicial
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se encontrar o tempo necessário
tal que a concentração satisfaça . - A função dada é
. - O método exigido é o Método de Newton com aproximação inicial
e tolerância . - A imagem fornecida contém exatamente a mesma função, o valor alvo
, a aproximação inicial e (esses dados foram extraídos da imagem).
Passo 2
Transformar o problema em equação de raiz:
- Para usar Newton, define-se a função cuja raiz procuramos:
- A raiz de
é o tempo desejado.
Derivada de
(necessária no Método de Newton):
- Regra usada: a derivada de
é . - Assim,
- Simplificando os coeficientes:
Comentário rápido (didático): cada termo exponencial decresce com
;
é negativo na região de interesse, o que evita divisões por zero e normalmente garante bom comportamento do método.
Passo 3
Fórmula do Método de Newton e critério de parada:
- Fórmula de iteração:
- Critério de parada usado aqui: parar quando
com . - Vamos aplicar a partir de
, calculando e e obtendo até satisfazer o critério.
Passo 4
Iteração 0 → 1 (a partir de
):
- Calcular
:
Avaliações numéricas (apresentadas com 9 casas significativas quando útil):
Logo
- Calcular
:
- Atualização Newton:
Diferença
, continuar.
Passo 5
Iteração 1 → 2 (a partir de
):
- Calcular
e . Avaliações (arredondadas):
- Atualização Newton:
Diferença
, continuar.
Passo 6
Iteração 2 → 3 (a partir de
):
- Avaliações aproximadas:
- Atualização Newton:
Diferença
, continuar.
Passo 7
Iteração 3 → 4 (a partir de
):
- Avaliações mais próximas de
:
- Atualização Newton:
Diferença
, ainda acima da tolerância, portanto uma iteração adicional é necessária.
Passo 8
Iteração 4 → 5 (a partir de
) e parada:
- Avaliações em
:
- Atualização Newton:
- Agora a diferença é
portanto satisfaz o critério de parada.
Passo 9
Interpretação final e observação:
- O Método de Newton convergiu rapidamente (em 5 iterações) para a raiz buscada.
- A solução aproximada (com a precisão exigida pelo critério
) é aproximadamente . - Em linguagem prática: leva aproximadamente
(unidades de tempo usadas na fórmula) para que a concentração atinja .