A concentração de bactérias poluentes C em um lago diminui de acordo com a seguinte função:
C(t)=75 e^{-1.5 t}+20 e^{-0.075 t}
Deseja-se determinar o tempo necessário para que a concentração de bactérias seja reduzida ao valor de 15 .
Resolva o problema usando o Método de Newton com aproximação inicial t=6 e \varepsilon=0.001.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se encontrar o tempo necessário t tal que a concentração satisfaça C(t)=15.
  • A função dada é C(t)=75 e^{-1{,}5t}+20 e^{-0{,}075t}.
  • O método exigido é o Método de Newton com aproximação inicial t_0=6 e tolerância \varepsilon=0{,}001.
  • A imagem fornecida contém exatamente a mesma função, o valor alvo 15, a aproximação inicial t=6 e \varepsilon=0{,}001 (esses dados foram extraídos da imagem).

Passo 2

Transformar o problema em equação de raiz:
  • Para usar Newton, define-se a função cuja raiz procuramos:
f(t)=C(t)-15=75e^{-1{,}5t}+20e^{-0{,}075t}-15.
  • A raiz de f é o tempo t desejado.
Derivada de f (necessária no Método de Newton):
  • Regra usada: a derivada de e^{at} é a e^{at}.
  • Assim,
f'(t)=\frac{d}{dt}\big(75e^{-1{,}5t}+20e^{-0{,}075t}-15\big) =-1{,}5\cdot75\,e^{-1{,}5t}-0{,}075\cdot20\,e^{-0{,}075t}.
  • Simplificando os coeficientes:
f'(t)=-112{,}5\,e^{-1{,}5t}-1{,}5\,e^{-0{,}075t}.
Comentário rápido (didático): cada termo exponencial decresce com t; f'(t) é negativo na região de interesse, o que evita divisões por zero e normalmente garante bom comportamento do método.

Passo 3

Fórmula do Método de Newton e critério de parada:
  • Fórmula de iteração:
t_{n+1}=t_n-\frac{f(t_n)}{f'(t_n)}.
  • Critério de parada usado aqui: parar quando |t_{n+1}-t_n|<\varepsilon com \varepsilon=0{,}001.
  • Vamos aplicar a partir de t_0=6, calculando f(t_n) e f'(t_n) e obtendo t_{n+1} até satisfazer o critério.

Passo 4

Iteração 0 → 1 (a partir de t_0=6):
  • Calcular f(6):
f(6)=75e^{-1{,}5\cdot6}+20e^{-0{,}075\cdot6}-15 =75e^{-9}+20e^{-0{,}45}-15.
Avaliações numéricas (apresentadas com 9 casas significativas quando útil):
e^{-9}\approx0{,}0001234098,\qquad 75e^{-9}\approx0{,}0092557353,
e^{-0{,}45}\approx0{,}6376281516,\qquad 20e^{-0{,}45}\approx12{,}7525630324.
Logo
f(6)\approx0{,}0092557353+12{,}7525630324-15\approx-2{,}2381812323.
  • Calcular f'(6):
f'(6)=-112{,}5e^{-9}-1{,}5e^{-0{,}45} \approx-112{,}5\cdot0{,}0001234098-1{,}5\cdot0{,}6376281516 \approx-0{,}0138836032-0{,}9564422274\approx-0{,}9703258306.
  • Atualização Newton:
t_1=6-\frac{f(6)}{f'(6)}=6-\frac{-2{,}2381812323}{-0{,}9703258306}\approx6-2{,}307704317\approx3{,}692295683.
Diferença |t_1-t_0|\approx2{,}3077>\varepsilon, continuar.

Passo 5

Iteração 1 → 2 (a partir de t_1\approx3{,}692295683):
  • Calcular f(t_1) e f'(t_1). Avaliações (arredondadas):
e^{-1{,}5t_1}=e^{-5{,}538443525}\approx0{,}003935,\qquad 75e^{-1{,}5t_1}\approx0{,}2951,
e^{-0{,}075t_1}=e^{-0{,}276922676}\approx0{,}75813,\qquad 20e^{-0{,}075t_1}\approx15{,}1626.
f(t_1)\approx0{,}2951+15{,}1626-15\approx0{,}4577.
f'(t_1)\approx-112{,}5\cdot0{,}003935-1{,}5\cdot0{,}75813\approx-0{,}4429-1{,}1372\approx-1{,}5801.
  • Atualização Newton:
t_2=t_1-\frac{f(t_1)}{f'(t_1)}\approx3{,}692295683-\frac{0{,}4577}{-1{,}5801}\approx3{,}692295683+0{,}2897\approx3{,}981995\\ (\text{aprox.}).
Diferença |t_2-t_1|\approx0{,}2897>\varepsilon, continuar.

Passo 6

Iteração 2 → 3 (a partir de t_2\approx3{,}981995):
  • Avaliações aproximadas:
e^{-1{,}5t_2}=e^{-5{,}972993}\approx0{,}00255,\qquad 75e^{-1{,}5t_2}\approx0{,}1914,
e^{-0{,}075t_2}=e^{-0{,}29865}\approx0{,}7417,\qquad 20e^{-0{,}075t_2}\approx14{,}834.
f(t_2)\approx0{,}1914+14{,}834-15\approx0{,}0254.
f'(t_2)\approx-112{,}5\cdot0{,}00255-1{,}5\cdot0{,}7417\approx-0{,}2869-1{,}1126\approx-1{,}3995.
  • Atualização Newton:
t_3=t_2-\frac{f(t_2)}{f'(t_2)}\approx3{,}981995-\frac{0{,}0254}{-1{,}3995}\approx3{,}981995+0{,}01815\approx4{,}00015.
Diferença |t_3-t_2|\approx0{,}01815>\varepsilon, continuar.

Passo 7

Iteração 3 → 4 (a partir de t_3\approx4{,}00015):
  • Avaliações mais próximas de t=4:
e^{-1{,}5t_3}=e^{-6{,}000225}\approx0{,}00247819,\qquad 75e^{-1{,}5t_3}\approx0{,}18586,
e^{-0{,}075t_3}=e^{-0{,}30001125}\approx0{,}74081,\qquad 20e^{-0{,}075t_3}\approx14{,}81619.
f(t_3)\approx0{,}18586+14{,}81619-15\approx0{,}00206.
f'(t_3)\approx-112{,}5\cdot0{,}00247819-1{,}5\cdot0{,}74081\approx-0{,}27880-1{,}11121\approx-1{,}39001.
  • Atualização Newton:
t_4=t_3-\frac{f(t_3)}{f'(t_3)}\approx4{,}00015-\frac{0{,}00206}{-1{,}39001}\approx4{,}00015+0{,}00148\approx4{,}00163.
Diferença |t_4-t_3|\approx0{,}00148>\varepsilon, ainda acima da tolerância, portanto uma iteração adicional é necessária.

Passo 8

Iteração 4 → 5 (a partir de t_4\approx4{,}00163) e parada:
  • Avaliações em t_4:
e^{-1{,}5t_4}\approx e^{-6{,}002445}\approx0{,}00247268,\qquad 75e^{-1{,}5t_4}\approx0{,}18545,
e^{-0{,}075t_4}\approx e^{-0{,}30012225}\approx0{,}7407277,\qquad 20e^{-0{,}075t_4}\approx14{,}81455.
f(t_4)\approx0{,}18545+14{,}81455-15\approx0{,}0000051\\ (\text{aprox.}).
f'(t_4)\approx-112{,}5\cdot0{,}00247268-1{,}5\cdot0{,}7407277\approx-0{,}27826-1{,}11109\approx-1{,}38935.
  • Atualização Newton:
t_5=t_4-\frac{f(t_4)}{f'(t_4)}\approx4{,}00163-\frac{0{,}0000051}{-1{,}38935}\approx4{,}00163+0{,}0000037\approx4{,}0016337.
  • Agora a diferença é
|t_5-t_4|\approx0{,}0000037<\varepsilon=0{,}001,
portanto satisfaz o critério de parada.

Passo 9

Interpretação final e observação:
  • O Método de Newton convergiu rapidamente (em 5 iterações) para a raiz buscada.
  • A solução aproximada (com a precisão exigida pelo critério |t_{n+1}-t_n|<0{,}001) é aproximadamente t\approx4{,}00163.
  • Em linguagem prática: leva aproximadamente 4{,}002 (unidades de tempo usadas na fórmula) para que a concentração atinja 15.

Resposta

t \approx 4{,}00163

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