Dadas a função e o intervalo que contém uma raiz utilize o método da bissecção para “refinar” o intervalo, encontre o número aproximado de iterações.
f(x)=x^{2}+\ln x, \epsilon=0,1, raiz no intervalo 0,1 ; 1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = x^2 + \ln x
e informa que há uma raiz em [0,1;1], ou seja, em [0,1\,,1], com tolerância \epsilon=0,1.
O método da bissecção exige que f seja contínua no intervalo e que os valores nas extremidades tenham sinais opostos. Vamos usar a fórmula do erro para estimar o número de iterações necessárias.

Passo 2

Verificamos a existência de raiz em [0,1\,,1]. Calculamos
f(0,1) = (0,1)^2 + \ln(0,1) = 0,01 - 2,302585\dots < 0
f(1) = 1^2 + \ln(1) = 1 + 0 = 1 > 0
Como f(0,1)\cdot f(1) < 0, por Bolzano existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

No método da bissecção, após n iterações, o tamanho do intervalo é
\frac{b-a}{2^n}
e queremos que esse comprimento seja menor ou igual a \epsilon=0,1. Portanto, buscamos n tal que
\frac{b-a}{2^n} \le \epsilon.

Passo 4

Aqui a=0,1 e b=1, logo b-a=0,9. Impomos
\frac{0,9}{2^n} \le 0,1 \quad\Longrightarrow\quad 2^n \ge \frac{0,9}{0,1} = 9 \quad\Longrightarrow\quad n \ge \log_{2}(9) \approx 3,17.
Como n deve ser inteiro, o menor n que atende é n=4.

Resposta

São necessárias 4 iterações.

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