Considere a função g(x)=x^3-x-1. Resolva a equação g(x)=0 pelo método do ponto fixo utilizando a função phi(x)=1x+1x^2, x0=1 e precisão varepsilon=10^-2.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra achar a raiz da função
g(x)=x^3 - x - 1
usando o método do ponto-fixo com
phi(x)=1x + 1x^2,
chutando inicialmente e querendo precisão .
Conteúdo: método do ponto-fixo para resolver . Vamos precisar aprender o que é iterar , ver condição de convergência e testar uns valores.

Passo 2

O lance do método do ponto-fixo é reescrever x = phi(x) como
xn+1 = phi(xn)
e iterar
A ideia é que, se “puxa” os valores pra perto da solução, a sequência converge para a raiz.
Critério de convergência (intuitivo): normalmente a gente vê se perto da raiz — se for maior que 1, a coisa tende a divergir.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de phi(x)=x^-1 + x^-2 Longrightarrow phi'(x) = -x^-2 - 2,x^-3 = -1x^2 - 2x^3 :
|phi'(1,3247)| = 11,3247^2 + 21,3247^3 approx 0,57 + 0,86 approx 1,43 > 1
Na raiz verdadeira (que é aproximadamente ), dá
Ou seja, não satisfaz ; isso já é um alerta forte de que a iteração vai divergir.

Passo 4

Mesmo assim, vamos ver como os primeiros termos se comportam:
x₀ = 1
x₁ = φ(1) = 1/1 + 1/1² = 2
x₂ = φ(2) = 1/2 + 1/4 = 0{,}75
x₃ = φ(0{,}75) ≃ 1,333 + 1,778 = 3,111
x₄ = φ(3,111) ≃ 0,321 + 0,103 = 0,424
x₅ = φ(0,424) ≃ 2,354 + 5,544 = 7,898
x₆ = φ(7,898) ≃ 0,127 + 0,016 = 0,143

Você vê que os valores vão pulando de um extremo ao outro e |xₙ₊₁–xₙ| fica grande — nunca cai abaixo de 0,01.

Resposta

O método do ponto-fixo com e não converge para a raiz de dentro da precisão .

Exercícios relacionados