Considere a função 
 . Resolva a equação 
  pelo método do ponto fixo utilizando a função 
  e precisão 
 .
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra achar a raiz da função
usando o método do ponto-fixo com
chutando inicialmente 
  e querendo precisão 
 .
Conteúdo: método do ponto-fixo para resolver . Vamos precisar aprender o que é iterar 
 , ver condição de convergência e testar uns valores.
Conteúdo: método do ponto-fixo para resolver
Passo 2
O lance do método do ponto-fixo é reescrever 
  como
e iterar
A ideia é que, se 
  “puxa” os valores pra perto da solução, a sequência 
  converge para a raiz.
Critério de convergência (intuitivo): normalmente a gente vê se  perto da raiz — se for maior que 1, a coisa tende a divergir.
Critério de convergência (intuitivo): normalmente a gente vê se
Passo 3
Vamos calcular a derivada de 
 :
Na raiz verdadeira (que é aproximadamente 
 ), dá
Ou seja, 
  não satisfaz 
 ; isso já é um alerta forte de que a iteração vai divergir.
Passo 4
Mesmo assim, vamos ver como os primeiros termos se comportam:
x₀ = 1
x₁ = φ(1) = 1/1 + 1/1² = 2
x₂ = φ(2) = 1/2 + 1/4 = 0{,}75
x₃ = φ(0{,}75) ≃ 1,333 + 1,778 = 3,111
x₄ = φ(3,111) ≃ 0,321 + 0,103 = 0,424
x₅ = φ(0,424) ≃ 2,354 + 5,544 = 7,898
x₆ = φ(7,898) ≃ 0,127 + 0,016 = 0,143
…
Você vê que os valores vão pulando de um extremo ao outro e |xₙ₊₁–xₙ| fica grande — nunca cai abaixo de 0,01.
x₀ = 1
x₁ = φ(1) = 1/1 + 1/1² = 2
x₂ = φ(2) = 1/2 + 1/4 = 0{,}75
x₃ = φ(0{,}75) ≃ 1,333 + 1,778 = 3,111
x₄ = φ(3,111) ≃ 0,321 + 0,103 = 0,424
x₅ = φ(0,424) ≃ 2,354 + 5,544 = 7,898
x₆ = φ(7,898) ≃ 0,127 + 0,016 = 0,143
…
Você vê que os valores vão pulando de um extremo ao outro e |xₙ₊₁–xₙ| fica grande — nunca cai abaixo de 0,01.
Resposta
O método do ponto-fixo com 
  e 
  não converge para a raiz de 
  dentro da precisão 
 .