Considere a função
. Resolva a equação
pelo método do ponto fixo utilizando a função
e precisão
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra achar a raiz da função
usando o método do ponto-fixo com
chutando inicialmente
e querendo precisão
.
Conteúdo: método do ponto-fixo para resolver . Vamos precisar aprender o que é iterar
, ver condição de convergência e testar uns valores.
Conteúdo: método do ponto-fixo para resolver
Passo 2
O lance do método do ponto-fixo é reescrever
como
e iterar
A ideia é que, se
“puxa” os valores pra perto da solução, a sequência
converge para a raiz.
Critério de convergência (intuitivo): normalmente a gente vê se perto da raiz — se for maior que 1, a coisa tende a divergir.
Critério de convergência (intuitivo): normalmente a gente vê se
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Na raiz verdadeira (que é aproximadamente
), dá
Ou seja,
não satisfaz
; isso já é um alerta forte de que a iteração vai divergir.
Passo 4
Mesmo assim, vamos ver como os primeiros termos se comportam:
x₀ = 1
x₁ = φ(1) = 1/1 + 1/1² = 2
x₂ = φ(2) = 1/2 + 1/4 = 0{,}75
x₃ = φ(0{,}75) ≃ 1,333 + 1,778 = 3,111
x₄ = φ(3,111) ≃ 0,321 + 0,103 = 0,424
x₅ = φ(0,424) ≃ 2,354 + 5,544 = 7,898
x₆ = φ(7,898) ≃ 0,127 + 0,016 = 0,143
…
Você vê que os valores vão pulando de um extremo ao outro e |xₙ₊₁–xₙ| fica grande — nunca cai abaixo de 0,01.
x₀ = 1
x₁ = φ(1) = 1/1 + 1/1² = 2
x₂ = φ(2) = 1/2 + 1/4 = 0{,}75
x₃ = φ(0{,}75) ≃ 1,333 + 1,778 = 3,111
x₄ = φ(3,111) ≃ 0,321 + 0,103 = 0,424
x₅ = φ(0,424) ≃ 2,354 + 5,544 = 7,898
x₆ = φ(7,898) ≃ 0,127 + 0,016 = 0,143
…
Você vê que os valores vão pulando de um extremo ao outro e |xₙ₊₁–xₙ| fica grande — nunca cai abaixo de 0,01.
Resposta
O método do ponto-fixo com
e
não converge para a raiz de
dentro da precisão
.