Resolva os seguintes sistemas lineares usando o método de eliminação de Gauss:
r3 x1+2 x2+4 x3=1 x1+x2+2 x3=2 4 x1+3 x2-2 x3=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema
3x1 + 2x2 + 4x3 = 1, x1 + x2 + 2x3 = 2, 4x1 + 3x2 -2x3 = 3
usando o método de eliminação de Gauss. Esse método consiste em escrever a matriz aumentada, usar operações elementares (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar e somar múltiplos de linhas) para chegar a uma matriz triangular superior e depois voltar resolvendo de trás pra frente. Vamos precisar reordenar linhas, zerar coeficientes abaixo dos pivôs e, por fim, fazer a substituição reversa.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada e, para facilitar o pivô, trocamos a primeira equação (que tinha coeficiente 3 em [ccc|c 1 & 1 & 2 & 2 3 & 2 & 4 & 1 4 & 3 & -2 & 3 ] ) pela segunda (que tem coeficiente 1 em ). Fica assim:

Passo 3

Agora vamos zerar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (o pivô é 1 na linha 1).
– Para zerar o L2 &: (3,2,4mid1) - 3,(1,1,2mid2) = (3-3,,2-3,,4-6mid1-6) &= (0,-1,-2mid -5) da linha 2: faça L3 &: (4,3,-2mid3) - 4,(1,1,2mid2) = (4-4,,3-4,,-2-8mid3-8) &= (0,-1,-10mid -5) .
[ccc|c 1 & 1 & 2 & 2 0 & -1 & -2 & -5 0 & -1 & -10 & -5 ]
– Para zerar o da linha 3: faça .
A matriz fica

Passo 4

Agora vamos usar o pivô da segunda linha, que é L2 >=ts -1cdot(0,-1,-2mid -5) = (0,1,2mid 5) em (0,-1,-10mid -5) + (0,1,2mid 5) = (0,0,-8mid 0) . Primeiro, multiplica a linha 2 por [ccc|c 1 & 1 & 2 & 2 0 & 1 & 2 & 5 0 & 0 & -8 & 0 ] para deixar o pivô positivo:
Depois, zeramos o que ficou na linha 3, coluna 2, fazendo
:
Agora a matriz está em forma triangular superior:

Passo 5

Chegou a hora da substituição reversa (back‐substitution):
  1. Da linha 3:

  2. Da linha 2:

    como ,
  3. Da linha 1:

    substituindo e ,

Resposta

(x1, x2, x3) = (-3,,5,,0)

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