Considere a função f(x)=2 \sqrt{x}-(x-4)^{2} e responda o que se pede:
a) Determine o menor intervalo cujos extremos sejam inteiros contendo a menor raiz da função;
b) Utilize 4 iterações do método da bisseção para determinar um valor que será utilizado como x_{0} no método de Newton-Raphson, a seguir;
c) Utilize o Método de Newton-Raphson para determinar a menor raiz da função, de modo que \left|f\left(x_{i}\right)\right|=0.0001.

Passo 1

O enunciado pede a menor raiz de
f(x)=2\sqrt{x}-(x-4)^{2},
primeiro determinando o menor intervalo com extremos inteiros que a contenha (método da falsa posição discreto), depois fazendo 4 iterações do método da bisseção para obter um palpite x_{0}, e finalmente aplicando o método de Newton–Raphson até que \lvert f(x_{i})\rvert=10^{-4}.

Passo 2

Para encontrar o intervalo com extremos inteiros que contenha a menor raiz, avaliamos em inteiros:
f(2)=2\sqrt{2}-(2-4)^{2}=2\sqrt{2}-4\approx-1,17<0,
f(3)=2\sqrt{3}-(3-4)^{2}=2\sqrt{3}-1\approx2,46>0.
Como f(2)<0 e f(3)>0, há mudança de sinal em [2,3]. Logo o menor intervalo com extremos inteiros é [2,3].

Passo 3

Aplicamos 4 iterações da bisseção em [a_{0},b_{0}]=[2,3]:
  1. m_{1}=(2+3)/2=2,5, f(2,5)=2\sqrt{2,5}-(2,5-4)^{2}\approx3,1623-2,25=0,9123>0troca-se b_{1}=2,5.
  2. m_{2}=(2+2,5)/2=2,25, f(2,25)=2\sqrt{2,25}-(2,25-4)^{2}=3-3,0625=-0,0625<0troca-se a_{2}=2,25.
  3. m_{3}=(2,25+2,5)/2=2,375, f(2,375)=2\sqrt{2,375}-(2,375-4)^{2}\approx3,0822-2,6406=0,4416>0troca-se b_{3}=2,375.
  4. m_{4}=(2,25+2,375)/2=2,3125, f(2,3125)=2\sqrt{2,3125}-(2,3125-4)^{2}\approx3,0415-2,8477=0,1938>0troca-se b_{4}=2,3125.
Após 4 iterações temos [a_{4},b_{4}]=[2,25,\,2,3125]. Tomamos
x_{0}=\frac{2,25+2,3125}{2}=2,28125.

Passo 4

Para Newton–Raphson precisamos de
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-2(x-4).
Com x_{0}=2,28125:
f(x_{0})\approx0,06621,\quad f'(x_{0})\approx4,0998,
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})} \approx2,28125-\frac{0,06621}{4,0998}=2,26510,
f(x_{1})\approx0,001999,\quad f'(x_{1})\approx4,1346,
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})} \approx2,26510-\frac{0,001999}{4,1346}=2,26458,
f(x_{2})\approx-1{,}5\times10^{-6},
e já satisfaz \lvert f(x_{2})\rvert<10^{-4}.

Resposta

a) [2,3]
b) x_{0}=2{,}28125
c) x\approx2{,}26458 (em duas iterações de Newton–Raphson)

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