Determine os pólos, com suas respectivas ordens, no caso de cada uma das funções dadas nos Exercs. 6 a 13.
\frac{1}{z \operatorname{sen}^{2} \pi z}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os polos e suas ordens da função
f(z)=\frac{1}{z\,\operatorname{sen}^2(\pi z)}.
O conteúdo principal aqui é analisar onde o denominador se anula (ou seja, onde surgem singularidades) e, em seguida, calcular a ordem de cada uma dessas singularidades sabendo que um zero de ordem m no denominador gera um polo de ordem m.

Passo 2

Identificamos os fatores que podem anular o denominador:
  1. O fator z anula-se em z=0, gerando potencial polo.
  2. O fator \operatorname{sen}^2(\pi z) anula-se sempre que \operatorname{sen}(\pi z)=0, ou seja, para
\pi z = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
isto é, em z=k para todo inteiro k.
Portanto, as singularidades potenciais de f são exatamente
z=0,\quad z=\pm1,\pm2,\pm3,\dots

Passo 3

Para determinar a ordem do polo em z=0, usamos a expansão de Taylor de \operatorname{sen}(\pi z) em torno de 0:
\operatorname{sen}(\pi z)=\pi z - \frac{(\pi z)^3}{3!}+\cdots \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen}(\pi z)\sim \pi z \quad\text{quando }z\to0.
Logo,
\operatorname{sen}^2(\pi z)\sim \pi^2 z^2,
e o denominador de f em z=0 é
z\;\operatorname{sen}^2(\pi z)\sim z\;\bigl(\pi^2 z^2\bigr)=\pi^2 z^3.
Isso mostra que em z=0 o denominador tem um zero de ordem 3, portanto f tem um polo de ordem 3 em z=0.

Passo 4

Para m\neq0, próximo de z=m, usamos que \operatorname{sen}(\pi z) tem zero simples em z=m. De fato,
\operatorname{sen}(\pi z)=\operatorname{sen}\bigl(\pi(m+(z-m))\bigr) =\operatorname{sen}\bigl(\pi m+\pi (z-m)\bigr) =(-1)^m\operatorname{sen}\bigl(\pi(z-m)\bigr) \sim (-1)^m\pi (z-m)
quando z\to m. Então
\operatorname{sen}^2(\pi z)\sim \pi^2(z-m)^2,
e como o fator z no denominador não se anula para m\neq0, temos
z\,\operatorname{sen}^2(\pi z)\sim m\,\pi^2\,(z-m)^2.
Isso mostra que em cada z=m, com m\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}, o denominador tem zero de ordem 2, logo f tem polos de ordem 2.

Resposta

Os polos de f(z)=1/\bigl(z\,\operatorname{sen}^2(\pi z)\bigr) são:
(a) em z=0, polo de ordem 3;
(b) em z=m para todo m\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}, polo de ordem 2.

Exercícios relacionados