Determine os pólos, com suas respectivas ordens, no caso de cada uma das funções dadas nos Exercs. 6 a 13.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os polos e suas ordens da função
O conteúdo principal aqui é analisar onde o denominador se anula (ou seja, onde surgem singularidades) e, em seguida, calcular a ordem de cada uma dessas singularidades sabendo que um zero de ordem
no denominador gera um polo de ordem
.
Passo 2
Identificamos os fatores que podem anular o denominador:
- O fator
anula-se em , gerando potencial polo. - O fator
anula-se sempre que , ou seja, para
isto é, em
para todo inteiro
.
Portanto, as singularidades potenciais de
são exatamente
Passo 3
Para determinar a ordem do polo em
, usamos a expansão de Taylor de
em torno de
:
Logo,
e o denominador de
em
é
Isso mostra que em
o denominador tem um zero de ordem
, portanto
tem um polo de ordem
em
.
Passo 4
Para
, próximo de
, usamos que
tem zero simples em
. De fato,
quando
. Então
e como o fator
no denominador não se anula para
, temos
Isso mostra que em cada
, com
, o denominador tem zero de ordem
, logo
tem polos de ordem
.
Resposta
Os polos de
são:
(a) em , polo de ordem 3;
(b) em para todo
, polo de ordem 2.
(a) em
(b) em