Considere \circ \mathrm{PVI}:\left\{\begin{array}{l}4 y^{\prime}+4 y+8 x=0 ; \\\ y(1)=3\end{array}\right.
2,0 a) Sabendo que a solução da EDO é y(x)=c_{1} e^{-x}-2 x+2. Determine a solução do PVI e ó valor exato y(13 / 10).
b) Encontre uma aproximaçãolpara \psi(13 / 10) usando o método de Euler Melhorado, com h=0.1.
Obs.:Todos os cálculos devem ser apresentados em, sua prova e devem ser arredondados com 4 casas decimais.

Passo 1

O PVI é
4y' + 4y + 8x = 0,\quad y(1)=3,
que em forma padrão fica
y' + y + 2x = 0.
Dado que a solução geral é
y(x) = c_{1}e^{-x} - 2x + 2,
vamos usar a condição inicial para encontrar c_{1} e depois calcular o valor exato de y(13/10) (parte a). Em seguida, escrevemos o problema em forma normal y'=-y-2x e aplicamos o método de Euler melhorado com passo h=0,1 de x=1 até x=1,3 (parte b).

Passo 2

Impondo y(1)=3 em
y(1) = c_{1}e^{-1} - 2\cdot1 + 2 = c_{1}e^{-1},
temos
c_{1}e^{-1} = 3 \quad\Longrightarrow\quad c_{1} = 3e.
Logo a solução do PVI é
y(x) = 3e\,e^{-x} - 2x + 2 = 3e^{\,1-x} - 2x + 2.

Passo 3

Substituindo x = 13/10 em y(x), obtemos o valor exato
y\bigl(13/10\bigr) = 3e^{\,1-\frac{13}{10}} \;-\;2\cdot\frac{13}{10} \;+\;2 = 3e^{-\frac{3}{10}} \;-\;\frac{26}{10} + 2 = 3e^{-\tfrac{3}{10}} \;-\;\tfrac{3}{5}.

Passo 4

Para a parte (b), escrevemos a EDO em forma normal
y' = -y - 2x.
No método de Euler melhorado (Heun), com passo h=0,1, definimos o predictor e o corrector:
\tilde y_{n+1} = y_{n} + h\,f(x_{n},y_{n}), \qquad y_{n+1} = y_{n} + \frac{h}{2}\bigl(f(x_{n},y_{n}) + f(x_{n+1},\tilde y_{n+1})\bigr),
onde f(x,y) = -y - 2x.

Passo 5

Aplicamos três iterações de x_{0}=1 até x_{3}=1,3, arredondando cada resultado a 4 casas decimais:
No primeiro passo, x_{0}=1, y_{0}=3:
f(x_{0},y_{0}) = -3 -2\cdot1 = -5{,}0000,
\tilde y_{1} = 3 + 0{,}1\cdot(-5{,}0000) = 2{,}5000,
f(x_{1},\tilde y_{1}) = -2{,}5000 -2\cdot1{,}1 = -4{,}7000,
y_{1} = 3 + \frac{0{,}1}{2}\bigl(-5{,}0000 -4{,}7000\bigr) = 2{,}5150.
No segundo passo, x_{1}=1{,}1, y_{1}=2{,}5150:
f(x_{1},y_{1}) = -2{,}5150 -2\cdot1{,}1 = -4{,}7150,
\tilde y_{2} = 2{,}5150 + 0{,}1\cdot(-4{,}7150) = 2{,}0435,
f(x_{2},\tilde y_{2}) = -2{,}0435 -2\cdot1{,}2 = -4{,}4435,
y_{2} = 2{,}5150 + \frac{0{,}1}{2}\bigl(-4{,}7150 -4{,}4435\bigr) = 2{,}0571.
No terceiro passo, x_{2}=1{,}2, y_{2}=2{,}0571:
f(x_{2},y_{2}) = -2{,}0571 -2\cdot1{,}2 = -4{,}4571,
\tilde y_{3} = 2{,}0571 + 0{,}1\cdot(-4{,}4571) = 1{,}6114,
f(x_{3},\tilde y_{3}) = -1{,}6114 -2\cdot1{,}3 = -4{,}2114,
y_{3} = 2{,}0571 + \frac{0{,}1}{2}\bigl(-4{,}4571 -4{,}2114\bigr) = 1{,}6237.
Portanto, a aproximação em x=13/10 pelo método de Euler melhorado é
\psi(13/10)\approx1{,}6237.

Resposta

a) A solução do PVI é
y(x) = 3e^{\,1-x} - 2x + 2,
e o valor exato em x=13/10 é
y\bigl(13/10\bigr) = 3e^{-\tfrac{3}{10}} - \tfrac{3}{5}.
b) A aproximação pelo método de Euler melhorado com h=0,1 em x=13/10 é
\psi\bigl(13/10\bigr) \approx 1{,}6237.

Exercícios relacionados