Considere
2,0 a) Sabendo que a solução da EDO é
. Determine a solução do PVI e ó valor exato
.
b) Encontre uma aproximaçãolpara
usando o método de Euler Melhorado, com
.
Obs.:Todos os cálculos devem ser apresentados em, sua prova e devem ser arredondados com 4 casas decimais.
b) Encontre uma aproximaçãolpara
Passo 1
O PVI é
que em forma padrão fica
Dado que a solução geral é
vamos usar a condição inicial para encontrar
e depois calcular o valor exato de
(parte a). Em seguida, escrevemos o problema em forma normal
e aplicamos o método de Euler melhorado com passo
de
até
(parte b).
Passo 2
Impondo
em
temos
Logo a solução do PVI é
Passo 3
Substituindo
em
, obtemos o valor exato
Passo 4
Para a parte (b), escrevemos a EDO em forma normal
No método de Euler melhorado (Heun), com passo
, definimos o predictor e o corrector:
onde
.
Passo 5
Aplicamos três iterações de
até
, arredondando cada resultado a 4 casas decimais:
No primeiro passo,
,
:
No segundo passo,
,
:
No terceiro passo,
,
:
Portanto, a aproximação em
pelo método de Euler melhorado é
.
Resposta
a) A solução do PVI é
e o valor exato em
é
b) A aproximação pelo método de Euler melhorado com
em
é