Questão 4: Suponha que sejam fornecidos valores tabelados \left(x_{k}, f\left(x_{k}\right)\right) para uma dada função e busca-se ajustar uma curva \varphi(x) a esses dados utilizando o método dos mínimos quadrados para o ajuste de curva. Qual é a estratégia de linearização deve ser adotada se \varphi(x) tem a forma dada a seguir:
\varphi(x)=\frac{1}{\alpha_{1}+\alpha_{2} x}

Passo 1

O enunciado dá dados tabelados (x_{k},f(x_{k})) e pede para ajustar por mínimos quadrados a curva
\varphi(x)=\frac{1}{\alpha_{1}+\alpha_{2}\,x}.
O conteúdo é “ajuste de curva não linear via linearização”, e o que precisamos é encontrar uma transformação que torne o modelo linear nos parâmetros \alpha_{1} e \alpha_{2}.

Passo 2

Note que
\varphi(x)=\frac{1}{\alpha_{1}+\alpha_{2}\,x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\varphi(x)}=\alpha_{1}+\alpha_{2}\,x.
Se definirmos
y_{k}=\frac{1}{f(x_{k})},
o modelo fica
y_{k}\approx \alpha_{1}+\alpha_{2}\,x_{k},
que é linear em \alpha_{1},\alpha_{2}.

Passo 3

Aplicamos mínimos quadrados lineares ao par de dados (x_{k},y_{k})\). Isso significa montar as normais \[\begin{cases} \displaystyle n\,\alpha_{1} + \Bigl(\sum_{k}x_{k}\Bigr)\alpha_{2} = \sum_{k}y_{k},\\[6pt] \displaystyle \Bigl(\sum_{k}x_{k}\Bigr)\alpha_{1} + \Bigl(\sum_{k}x_{k}^{2}\Bigr)\alpha_{2} = \sum_{k}x_{k}\,y_{k}, \end{cases}
e resolver para \alpha_{1}\] e \(\alpha_{2}.]

Passo 4

Depois de determinar \alpha_{1} e \alpha_{2} pela regressão linear em (x_{k},y_{k}), basta voltar ao modelo original e escrever
\varphi(x)=\frac{1}{\alpha_{1}+\alpha_{2}\,x}.

Resposta

A estratégia de linearização é tomar o inverso dos valores de f, definindo
y_{k} = \frac{1}{f(x_{k})},
e ajustar por mínimos quadrados o modelo linear
y_{k} \approx \alpha_{1} + \alpha_{2}\,x_{k},
depois inverter novamente para obter \varphi(x)=1/(\alpha_{1}+\alpha_{2}x).

Exercícios relacionados