Considere a função f tabelada abaixo
i 0 1 2 3
x_{i} -8,3 -3,5 3,1 4,6
f\left(x_{i}\right) 8,9 4,2 9 1,9
Se p_{3}(x) é o polinômio interpolador de f relativamente a x_{0}, x_{1}, x_{2} e x_{3}, então p_{3}(6,9) é aproximadamente igual a…
Observação: Preencha o espaço da resposta apenas com números, utilize arredondamentos com 4 casas decimais no mínimo (Ex: 1,2345) e não utilize espaços.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos (x_i,f(x_i)), com
x_0=-8,3,\;f(x_0)=8,9;\quad x_1=-3,5,\;f(x_1)=4,2;\quad x_2=3,1,\;f(x_2)=9;\quad x_3=4,6,\;f(x_3)=1,9,
e pede o valor de p_3(6,9), onde p_3 é o polinômio interpolador de grau <=3. Vamos usar o método das diferenças divididas de Newton para montar p_3 e depois avaliá-lo em x=6,9.

Passo 2

Calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
f[x_0,x_1]=\frac{4,2-8,9}{-3,5-(-8,3)}=\frac{-4,7}{4,8}=-0,9791667,
f[x_1,x_2]=\frac{9-4,2}{3,1-(-3,5)}=\frac{4,8}{6,6}=0,7272727,
f[x_2,x_3]=\frac{1,9-9}{4,6-3,1}=\frac{-7,1}{1,5}=-4,7333333.

Passo 3

Em seguida, as diferenças divididas de segunda e terceira ordem:
f[x_0,x_1,x_2] =\frac{0,7272727-(-0,9791667)}{3,1-(-8,3)} =\frac{1,7064394}{11,4}=0,1497403,
f[x_1,x_2,x_3] =\frac{-4,7333333-0,7272727}{4,6-(-3,5)} =\frac{-5,4606060}{8,1}=-0,6742400,
f[x_0,x_1,x_2,x_3] =\frac{-0,6742400-0,1497403}{4,6-(-8,3)} =\frac{-0,8239803}{12,9}=-0,0638736.

Passo 4

Escrevemos o polinômio de Newton e avaliamos em x=6,9. Chamando
u_1=6,9-(-8,3)=15,2,\quad u_2=6,9-(-3,5)=10,4,\quad u_3=6,9-3,1=3,8,
então
p_3(6,9)=8,9+(-0,9791667)\,u_1+0,1497403\,u_1u_2+(-0,0638736)\,u_1u_2u_3.
Calculando termo a termo:
(-0,9791667)\cdot15,2=-14,8833,\quad 0,1497403\cdot(15,2\cdot10,4)=23,6710,
-0,0638736\cdot(15,2\cdot10,4\cdot3,8)=-38,3696,
p_3(6,9)=8,9-14,8833+23,6710-38,3696=-20,6819\\ (\text{aprox.}).

Resposta

-20,6819

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