Sejam f(x)=e^{x}, x_{0}=0, x_{1}=0,5 e x_{2}=1. Suponha que foi calculada uma aproximação do valor e^{0,66} utilizando-se o polinômio interpolador de f relativamente a x_{0}, x_{1} e x_{2}. Utilizando a fórmula do erro na interpolação (com x=0,66 ), podemos concluir apenas que o módulo do erro cometido nesta aproximação é inferior a…
a. 2,0000
b. 0,0066
c. 0,0325
d. 0,0171
e. 0,0163

Passo 1

O enunciado pede uma estimativa de e^{0,66} usando o polinômio interpolador quadrático P_2 de f(x)=e^x nos nós x_0=0, x_1=0,5 e x_2=1. O objetivo é usar a fórmula do erro de Lagrange para polinômios de grau 2 e obter um limite superior para \bigl|e^{0,66}-P_2(0,66)\bigr|.

Passo 2

A fórmula do resto de Lagrange para grau 2 em um ponto x é
R_2(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)
para algum \xi entre os nós e x.

Passo 3

Aqui f^{(3)}(x)=e^x. Como 0\le\xi\le1, temos
e^\xi\le e^1=e.
Logo
\bigl|R_2(0,66)\bigr|\le\frac{e}{6}\,\bigl|0,66\,(0,66-0,5)\,(0,66-1)\bigr|.

Passo 4

Calculemos o produto interno:
0,66\,(0,66-0,5)\,(0,66-1) =0,66\cdot0,16\cdot(-0,34)=-0,035904,
então
\bigl|0,66\,(0,66-0,5)\,(0,66-1)\bigr|=0,035904.

Passo 5

Portanto
\bigl|R_2(0,66)\bigr|\le\frac{e}{6}\cdot0,035904 \approx0,45305\cdot0,035904\approx0,0163.
Entre as opções dadas, o único valor que garante esse limite é 0,0163.

Resposta

(e)

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