Considere a função f tabelada abaixo
i 0 1 2 3
x_{i} -7,4 -0,6 3,1 5,5
f\left(x_{i}\right) 2,3 7,5 3,3 8
Se p_{3}(x) é o polinômio interpolador de f relativamente a x_{0}, x_{1}, x_{2} e x_{3}, então p_{3}(8,9) é aproximadamente igual a…
Observação: Preencha o espaço da resposta apenas com números, utilize arredondamentos com 4 casas decimais no mínimo (Ex: 1,2345) e não utilize espaços.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado fornece a função f tabulada em
\begin{array}{c|cccc} i & 0 & 1 & 2 & 3\\hline x_i & -7,4 & -0,6 & 3,1 & 5,5\\\ f(x_i) & 2,3 & 7,5 & 3,3 & 8 \end{array}
e pede o valor do polinômio interpolador de grau 3, p_3(x), nesses quatro pontos avaliado em x=8,9. Vamos usar o método de diferenças divididas e a forma de Newton.

Passo 2

Calcular as diferenças divididas de primeira ordem:
f[x_0,x_1] =\frac{7,5-2,3}{-0,6-(-7,4)} =\frac{5,2}{6,8} \approx0,7647058824,
f[x_1,x_2] =\frac{3,3-7,5}{3,1-(-0,6)} =\frac{-4,2}{3,7} \approx-1,1351351351,
f[x_2,x_3] =\frac{8-3,3}{5,5-3,1} =\frac{4,7}{2,4} \approx1,9583333333.

Passo 3

Calcular as diferenças divididas de segunda ordem:
f[x_0,x_1,x_2] =\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0} =\frac{-1,1351351351-0,7647058824}{3,1-(-7,4)} \approx-0,1809372398,
f[x_1,x_2,x_3] =\frac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{x_3-x_1} =\frac{1,9583333333-(-1,1351351351)}{5,5-(-0,6)} \approx0,5072899104.

Passo 4

Calcular a diferença dividida de terceira ordem:
f[x_0,x_1,x_2,x_3] =\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0} =\frac{0,5072899104-(-0,1809372398)}{5,5-(-7,4)} \approx0,0533360876.

Passo 5

Montar o polinômio de Newton e avaliar em x=8,9.
Seja
a_0=2,3,\quad a_1=0,7647058824,\quad a_2=-0,1809372398,\quad a_3=0,0533360876,
u_1=8,9-(-7,4)=16,3,\quad u_2=8,9-(-0,6)=9,5,\quad u_3=8,9-3,1=5,8.
Então
p_3(8,9) =a_0 +a_1\,u_1 +a_2\,u_1\,u_2 +a_3\,u_1\,u_2\,u_3 \approx 2,3 +0,7647058824\cdot16,3 -0,1809372398\cdot16,3\cdot9,5 +0,0533360876\cdot16,3\cdot9,5\cdot5,8 \approx34,6493.

Resposta

34,6493

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