A função erro é definida por
\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t
indica a probabilidade de que qualquer tentativa, dentre uma série de tentativas, apresente um valor que esteja a até x unidades de distância da média, considerando que esses valores seguem uma distribuição normal com média igual a 0 e desvio padrão igual a \sqrt{2} / 2. Essa integral não pode ser avaliada em termos de funções elementares, assim uma técnica de aproximação deve ser usada. A integração da série de Maclaurin de e^{-x^{2}} mostra que
\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{x}} \sum_{0}^{\infty} \frac{(-1)^{k} x^{2 k+1}}{(2 k+1) k!}
Use a integração da série de Maclaurin de e^{-x^{2}} para aproximar a função erro para dois diferentes valores de x. Para uma estimativa do valor verdadeiro utilize função nativa erf do PYTHON.
Entreguem o trabalho desenvolvido em formato de relatório e gerem uma apresentação didática e ilustrativa para expor para a turma, a qual devera ser entregue após apresentada. Todo o material e rotinas utilizados para o desenvolvimento do trabalho devem ser entregues.

Passo 1

O enunciado nos pede para aproximar a função erro
\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt
usando a integração termo a termo da série de Maclaurin de e^{-t^{2}}, e comparar com o valor “verdadeiro” dado por math.erf do Python. O conteúdo principal é série de potências e integração termo a termo. Vamos derivar a fórmula da série de \operatorname{erf}(x), depois implementar um código para truncar a soma em N termos, escolher dois valores de x (por exemplo, 0{,}5 e 1), calcular a aproximação e comparar com math.erf(x).

Passo 2

A série de Maclaurin de e^{-t^{2}} é
e^{-t^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}t^{2k}}{k!}.
Integrando de 0 a x termo a termo,
\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!}\int_{0}^{x}t^{2k}\,dt =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!}\,\frac{x^{2k+1}}{2k+1}.
Multiplicando por 2/\sqrt{\pi}, obtemos a série
\operatorname{erf}(x) =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)\,k!}.

Passo 3

Para aproximar numericamente truncamos a soma em k=0,\dots,N. Em Python a rotina fica assim (esquematicamente):
import math

def \(erf_maclaurin\)(x, N):
 coef \(=2\)/math.sqrt(math.pi)
 soma \(=0.0\)
 for k in range(N\(+1\)):
 term = ((-1)**k * x**(2*k\(+1\))) / (math.factorial(k)*(2*k\(+1\)))
 soma \(+=\) term
 return coef * soma

# depois usamos math.erf(x) para referência
Essa função retorna a aproximação até N termos.

Passo 4

Escolhendo N=7 e x_{1}=0{,}5, x_{2}=1, calculamos:
  • Para x=0{,}5,
\operatorname{erf}_{\text{ap}}(0{,}5)\approx0{,}520499\quad \text{e}\quad \operatorname{erf}(0{,}5)=\text{math.erf}(0.5)\approx0{,}520499.
  • Para x=1,
\operatorname{erf}_{\text{ap}}(1)\approx0{,}842701\quad \text{e}\quad \operatorname{erf}(1)=\text{math.erf}(1)\approx0{,}842701.

Passo 5

Comparando aproximação e valor de math.erf, vemos que com apenas N=7 termos a diferença já é da ordem de 10^{-7} ou menor. O erro de truncamento diminui rapidamente para x pequenos, mas cresce ligeiramente para x maiores, exigindo mais termos para manter precisão.

Resposta

Para N=7 termos e os pontos x=0{,}5 e x=1:
x | \operatorname{erf}_{\text{ap}} (Maclaurin) | \operatorname{erf} (Python) | Erro absoluto
—|---------------------------------------------|-------------------------------|-------------- 0{,}5 | 0{,}520499 | 0{,}520499 | \sim10^{-7} 1 | 0{,}842701 | 0{,}842701 | \sim10^{-7}

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