A função erro é definida por
indica a probabilidade de que qualquer tentativa, dentre uma série de tentativas, apresente um valor que esteja a até
unidades de distância da média, considerando que esses valores seguem uma distribuição normal com média igual a 0 e desvio padrão igual a
. Essa integral não pode ser avaliada em termos de funções elementares, assim uma técnica de aproximação deve ser usada. A integração da série de Maclaurin de
mostra que
Use a integração da série de Maclaurin de
para aproximar a função erro para dois diferentes valores de
. Para uma estimativa do valor verdadeiro utilize função nativa erf do PYTHON.
Entreguem o trabalho desenvolvido em formato de relatório e gerem uma apresentação didática e ilustrativa para expor para a turma, a qual devera ser entregue após apresentada. Todo o material e rotinas utilizados para o desenvolvimento do trabalho devem ser entregues.
Passo 1
O enunciado nos pede para aproximar a função erro
usando a integração termo a termo da série de Maclaurin de
, e comparar com o valor “verdadeiro” dado por , depois implementar um código para truncar a soma em
termos, escolher dois valores de
(por exemplo,
e
), calcular a aproximação e comparar com
math.erf
do Python. O conteúdo principal é série de potências e integração termo a termo. Vamos derivar a fórmula da série de
math.erf(x)
.Passo 2
A série de Maclaurin de
é
Integrando de
a
termo a termo,
Multiplicando por
, obtemos a série
Passo 3
Para aproximar numericamente truncamos a soma em
. Em Python a rotina fica assim (esquematicamente):
import math
def \(erf_maclaurin\)(x, N):
coef \(=2\)/math.sqrt(math.pi)
soma \(=0.0\)
for k in range(N\(+1\)):
term = ((-1)**k * x**(2*k\(+1\))) / (math.factorial(k)*(2*k\(+1\)))
soma \(+=\) term
return coef * soma
# depois usamos math.erf(x) para referência
Essa função retorna a aproximação até
termos.
Passo 4
Escolhendo
e
,
, calculamos:
- Para
,
- Para
,
Passo 5
Comparando aproximação e valor de termos a diferença já é da ordem de
ou menor. O erro de truncamento diminui rapidamente para
pequenos, mas cresce ligeiramente para
maiores, exigindo mais termos para manter precisão.
math.erf
, vemos que com apenas
Resposta
Para
termos e os pontos
e
:
x |
(Maclaurin) |
(Python) | Erro absoluto
—|---------------------------------------------|-------------------------------|-------------- |
|
|
|
|
|
—|---------------------------------------------|-------------------------------|--------------