Considere a função f tabelada abaixo
i 0 1 2 3
x_{i} -8,2 -0,5 2,1 6,6
f\left(x_{i}\right) 6,4 2,2 2,5 8,9
Se p_{3}(x) é o polinômio interpolador de f relativamente a x_{0}, x_{1}, x_{2} e x_{3}, então p_{3}(4,9) é aproximadamente igual a…
Observação: Preencha o espaço da resposta apenas com números, utilize arredondamentos com 4 casas decimais no mínimo (Ex: 1,2345) e não utilize espaços.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos (x_i,f(x_i)):
(x_0,f_0)=(-8{,}2,6{,}4),\quad (x_1,f_1)=(-0{,}5,2{,}2),\quad (x_2,f_2)=(2{,}1,2{,}5),\quad (x_3,f_3)=(6{,}6,8{,}9)
e pede o valor do polinômio interpolador cúbico p_3(x) nesses nós em x=4,9. Vamos usar o formulário de Newton com diferenças divididas.

Passo 2

Calcule as diferenças divididas de primeira ordem:
f[x_0,x_1]=\frac{2{,}2-6{,}4}{-0{,}5-(-8{,}2)}=\frac{-4{,}2}{7{,}7}\approx-0{,}5454545,
f[x_1,x_2]=\frac{2{,}5-2{,}2}{2{,}1-(-0{,}5)}=\frac{0{,}3}{2{,}6}\approx0{,}1153846,
f[x_2,x_3]=\frac{8{,}9-2{,}5}{6{,}6-2{,}1}=\frac{6{,}4}{4{,}5}\approx1{,}4222222.

Passo 3

Calcule as diferenças de segunda ordem:
f[x_0,x_1,x_2] =\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0} =\frac{0{,}1153846-(-0{,}5454545)}{2{,}1-(-8{,}2)} \approx0{,}064159,
f[x_1,x_2,x_3] =\frac{1{,}4222222-0{,}1153846}{6{,}6-(-0{,}5)} \approx0{,}184060.

Passo 4

Calcule a diferença de terceira ordem:
f[x_0,x_1,x_2,x_3] =\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0} =\frac{0{,}184060-0{,}064159}{6{,}6-(-8{,}2)} \approx0{,}008101.

Passo 5

O polinômio de Newton é
p_3(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) +f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).
Para x=4,9 definimos
t_1=4{,}9-(-8{,}2)=13{,}1,\quad t_2=4{,}9-(-0{,}5)=5{,}4,\quad t_3=4{,}9-2{,}1=2{,}8.
Calculando termo a termo:
T_0=6{,}4,\quad T_1=-0{,}5454545\cdot13{,}1\approx-7{,}145454,
T_2=0{,}064159\cdot13{,}1\cdot5{,}4\approx4{,}538589,\quad T_3=0{,}008101\cdot13{,}1\cdot5{,}4\cdot2{,}8\approx1{,}604581.
Logo
p_3(4{,}9)=T_0+T_1+T_2+T_3\approx6{,}4-7{,}145454+4{,}538589+1{,}604581 \approx5{,}397716.

Resposta

5,3977

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