Sejam f(x)=e^{x}, x_{0}=0, x_{1}=0,5 e x_{2}=1. Suponha que foi calculada uma aproximação do valor e^{0,2} utilizando-se o polinômio interpolador de f relativamente a x_{0}, x_{1} e x_{2}. Utilizando a fórmula do erro na interpolação ( \operatorname{com} x=0,2 ), podemos concluir apenas que o módulo do erro cometido nesta aproximação é inferior a…
a. 1,0000
b. 0,0217
c. 0,0685
d. 0,0278
e. 0,0228

Passo 1

O enunciado pede um valor máximo para o erro ao aproximar e^{0,2} pelo polinômio interpolador de grau 2 nos pontos x_{0}=0, x_{1}=0,5 e x_{2}=1. O conteúdo é o teorema do resto de Lagrange em interpolação polinomial, que exige a derivada de ordem 3 de f num ponto intermediário.

Passo 2

A fórmula do erro na interpolação de grau 2 é
R_{2}(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2}),
para algum \xi entre os nós e x. Tomamos x=0,2 neste caso.

Passo 3

Como f(x)=e^{x}, temos
f^{(3)}(x)=e^{x},
e no intervalo que contém 0,\,0,2,\,0,5,\,1 o máximo de e^{x} é e^{1}=e. Logo
|f^{(3)}(\xi)|\le e.

Passo 4

Calculamos o valor absoluto do produto (0,2-0)(0,2-0,5)(0,2-1):
|(0,2-0)(0,2-0,5)(0,2-1)|=|0,2\cdot(-0,3)\cdot(-0,8)|=0,048.

Passo 5

Substituindo na fórmula do erro e usando 3!=6, obtemos
|R_{2}(0,2)|\le\frac{e}{6}\times0,048=0,008\,e\approx0,008\times2,71828\approx0,0217.

Resposta

b. 0,0217

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