Usando a fatoração LU resolva o sistema linear Ax=b, onde

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer resolver o sistema
A x = b
com
A=-1&2&3-5&7&16-15&14&6, b=-13-5
usando a fatoração LU.
Conteúdo da matéria: decomposição de uma matriz quadrada em L (lower triangular, com 1’s na diagonal) e U (upper triangular), depois substituição progressiva e regressiva.
O que vamos precisar:
  • Calcular as entradas de L e U (método de Doolittle).
  • Fazer substituição progressiva em L,y=b para achar y.
  • Fazer substituição regressiva em U,x=y para achar x.

Passo 2

Fatoração A=LU (Doolittle):
  1. Primeiro pivô u11=a11=-1. u12=a12=2, u13=a13=3
    2) Coeficientes de L na coluna 1:
    $$\ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{-5}{-1}=5,\quad\ell_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{-15}{-1}=15 ell21=a21u11=-5-1=5, ell31=a31u11=-15-1=15ôu_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}=7-5\cdot2=-3$$ U
    4) Coeficiente u22=a22-ell21u12=7-5cdot2=-3:
    $$\ell_{32}=\frac{a_{32}-\ell_{31}u_{12}}{u_{22}}
           =\frac{14-15\cdot2}{-3}=\frac{-16}{-3}=\frac{16}{3}$$  
    
  2. Último pivô u23=a23-ell21u13=16-5cdot3=1: ell32
Logo
ell32=a32-ell31u12u22 =14-15cdot2-3=-16-3=163

Passo 3

Substituição progressiva em L,y=b:
y1 = b1 = -1, 5,y1 + y2 = b2 = 3, 15,y1 + tfrac163y2 + y3 = b3 = -5
  1. y1=-1.
  2. 5(-1)+y2=3implies y2=8.
  3. 15(-1)+tfrac163cdot8 + y3=-5 implies -15+tfrac1283+y3=-5 implies y3=-5+15-tfrac1283 =-tfrac983.
    Portanto
y=-18-tfrac983

Passo 4

Substituição regressiva em U,x=y:
-1,x1 + 2,x2 + 3,x3 = y1 = -1, -3,x2 + 1,x3 = y2 = 8, -tfrac1333,x3 = y3 = -tfrac983
  1. Da última:
$$x_3 = \frac{-\tfrac{98}{3}}{-\tfrac{133}{3}}
   =\frac{98}{133}=\frac{14}{19}.$$  
  1. Da segunda:
x3 = -tfrac983-tfrac1333 =98133=1419
  1. Da primeira:
-3,x2 + tfrac1419 = 8 implies -3,x2 = 8 - tfrac1419 = tfrac152-1419=tfrac13819 implies x2=-tfrac13819cdottfrac13 =-tfrac4619

Resposta

x=-tfrac3119[6pt]-tfrac4619[4pt]tfrac1419$

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