Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de eliminação de Gauss.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é um sistema linear 4×4:
Conteúdo: eliminação de Gauss (escalonamento e retro-substituição). Vamos precisar montar a matriz aumentada, usar operações elementares de linha para zerar abaixo dos pivôs e depois achar a solução (aqui vai sair um parâmetro livre).
Passo 2
Monta a matriz aumentada e escolhe pivô na 1ª linha/1ª coluna:
Agora, pra eliminar
nas linhas 2, 3 e 4, subtraímos de cada uma
da linha 1.
Passo 3
Depois dessa operação, a matriz vira
Agora pivotamos em
(linha 2, coluna 2) e vamos zerar abaixo:
- Linha 3 ← Linha 3 +
·Linha 2 = Linha 3 + ·Linha 2 - Linha 4 ← Linha 4 −
·Linha 2 = Linha 4 − ·Linha 2
Passo 4
Fazendo essas contas, a matriz fica
Repara que a última linha ficou toda zero → sistema com 3 equações independentes e 4 incógnitas → vai aparecer um parâmetro livre.
Passo 5
Traduzindo de volta em equações escalonadas:
(1) 2x3+4t=0Longrightarrow x3=-2t
(2) 5x2+10x3+15x4=10 ;Longrightarrow; 5x2+10(-2t)+15t=10 ;Longrightarrow; 5x2-20t+15t=10 ;Longrightarrow; 5x2-5t=10 ;Longrightarrow; x2=2+t
(3) 4x1+3(2+t)+2(-2t)+t=10 ;Longrightarrow; 4x1+6+3t-4t+t=10 ;Longrightarrow; 4x1+6=10 ;Longrightarrow; x1=1
Como a 4ª virou , definimos
(parâmetro).
Da (3):
(1)
(2)
(3)
Como a 4ª virou
Da (3):
Da (2): multiplica por 4 pra ficar mais limpo:
Por fim, da (1):
Resposta
A solução geral é