Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de eliminação de Gauss.
cc4 x1+3 x2+2 x3+x^4 & =10 x1+2 x2+3 x3+4 x^4 & =5 x1-x2-x3-x^4 & =-1 x1+x2+x3+x4 & =3

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um sistema linear 4×4:
4x1+3x2+2x3+x4=10 x1+2x2+3x3+4x4=5 x1-x2-x3-x4=-1 x1+x2+x3+x4=3
Conteúdo: eliminação de Gauss (escalonamento e retro-substituição). Vamos precisar montar a matriz aumentada, usar operações elementares de linha para zerar abaixo dos pivôs e depois achar a solução (aqui vai sair um parâmetro livre).

Passo 2

Monta a matriz aumentada e escolhe pivô na 1ª linha/1ª coluna:
[cccc|c 4 & 3 & 2 & 1 & 10 1 & 2 & 3 & 4 & 5 1 & -1 & -1 & -1 & -1 1 & 1 & 1 & 1 & 3 ]
Agora, pra eliminar nas linhas 2, 3 e 4, subtraímos de cada uma da linha 1.

Passo 3

Depois dessa operação, a matriz vira
[cccc|c 4 & 3 & 2 & 1 & 10 0 & tfrac54 & tfrac52 & tfrac154 & tfrac52 0 & -tfrac74 & -tfrac32 & -tfrac54 & -tfrac72 0 & tfrac14 & tfrac12 & tfrac34 & tfrac12 ]
Agora pivotamos em (linha 2, coluna 2) e vamos zerar abaixo:
  • Linha 3 ← Linha 3 + ·Linha 2 = Linha 3 + ·Linha 2
  • Linha 4 ← Linha 4 − ·Linha 2 = Linha 4 − ·Linha 2

Passo 4

Fazendo essas contas, a matriz fica
[cccc|c 4 & 3 & 2 & 1 & 10 0 & tfrac54 & tfrac52 & tfrac154 & tfrac52 0 & 0 & 2 & 4 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]
Repara que a última linha ficou toda zero → sistema com 3 equações independentes e 4 incógnitas → vai aparecer um parâmetro livre.

Passo 5

Traduzindo de volta em equações escalonadas:
(1) 2x3+4t=0Longrightarrow x3=-2t
(2) 5x2+10x3+15x4=10 ;Longrightarrow; 5x2+10(-2t)+15t=10 ;Longrightarrow; 5x2-20t+15t=10 ;Longrightarrow; 5x2-5t=10 ;Longrightarrow; x2=2+t
(3) 4x1+3(2+t)+2(-2t)+t=10 ;Longrightarrow; 4x1+6+3t-4t+t=10 ;Longrightarrow; 4x1+6=10 ;Longrightarrow; x1=1
Como a 4ª virou , definimos (parâmetro).
Da (3):
Da (2): multiplica por 4 pra ficar mais limpo:
Por fim, da (1):

Resposta

A solução geral é
boxed l(x1,x2,x3,x4r) =l(1,;2+t,;-2t,;tr), tinR

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