Considere a função f: Z^* R tal que f(x)=(5^x-4)^12 cdot(5^3 x+2)^1x-(25^3 x+8)^12 x+5^2.
A soma de todos os valores de x para os quais a equação y^2+10 y+f(x)=0 tem duas raízes iguais é
a) 4
b) 5
C) 6
d) 8

Passo 1

Beleza, o que a questão tá pedindo?
Temos uma função
f(x)=l(5^x-4r)^tfrac12,cdotl(5^3x+2r)^tfrac1x ;-;l(25^3x+8r)^tfrac12x ;+;5^2 dada por
y^2 + 10y + f(x) ;=;0
E a gente quer os valores inteiros tais que a equação
tenha duas raízes iguais. No nosso conteúdo de Equações Quadráticas, isso acontece quando o discriminante dá zero.
O que vamos precisar:
  • Saber que para a equação , a condição de “duas raízes iguais” é .
  • Simplificar usando propriedades de potências.
  • Resolver a equação resultante em .

Passo 2

Para a quadrática De, o discriminante é
100 - 4,f(x) ;=;0 Longrightarrow f(x) ;=;25
Duas raízes iguais .
Logo a condição vira

Passo 3

Agora simplifica 5^x-42 cdot 5^3 + tfrac2x = 5^x-42 + 3 + tfrac2x = 5^x2 - 2 + 3 + tfrac2x = 5^x2 + 1 + tfrac2x . Vamos escrever tudo em base 5:
  1. f(x) =5^x2 + 1 + tfrac2x ;-; 5^3 + tfrac8x ;+; 25 .
  2. .
    Então o produto é
  1. E .
Logo

Passo 4

A condição 5^x2 + 1 + tfrac2x ;-; 5^3 + tfrac8x ;+; 25 =25 Longrightarrow 5^x2 + 1 + tfrac2x =5^3 + tfrac8x vira
x2 + 1 + 2x ;=; 3 + 8x
Como bases são iguais, igualamos os expoentes:

Passo 5

Resolver essa igualdade:
x2 + 1 + 2x - 3 - 8x = 0 ;Longrightarrow; x2 -2 + l(2x-8xr)=0 ;Longrightarrow; x2 -2 - 6x=0 .
  1. Leva tudo pro mesmo lado:
x^2 -4x -12 = 0
  1. Multiplica por pra eliminar frações:
  1. É uma quadrática: .
    Raízes: , ou seja e .
Ambos são inteiros não nulos, valem.

Resposta

A soma dos valores de é .

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