Considere a função
tal que
.
A soma de todos os valores de
para os quais a equação
tem duas raízes iguais é
a) 4
b) 5
C) 6
d) 8
A soma de todos os valores de
a) 4
b) 5
C) 6
d) 8
Passo 1
Beleza, o que a questão tá pedindo?
Temos uma função
dada por
Temos uma função
E a gente quer os valores inteiros
tais que a equação
tenha duas raízes iguais. No nosso conteúdo de Equações Quadráticas, isso acontece quando o discriminante dá zero.
O que vamos precisar:
- Saber que para a equação
, a condição de “duas raízes iguais” é . - Simplificar
usando propriedades de potências. - Resolver a equação resultante em
.
Passo 2
Para a quadrática
, o discriminante é
Duas raízes iguais
.
Logo a condição vira
Logo a condição vira
Passo 3
Agora simplifica
. Vamos escrever tudo em base 5:
-
. -
.
Então o produto é
-
-
E
.
Logo
Passo 4
A condição
vira
Como bases são iguais, igualamos os expoentes:
Passo 5
Resolver essa igualdade:
.
- Leva tudo pro mesmo lado:
- Multiplica por
pra eliminar frações:
- É uma quadrática:
.
Raízes:, ou seja e .
Ambos são inteiros não nulos, valem.
Resposta
A soma dos valores de
é
.