Sejam as funções f, g: R R tal que f(x)=3-5 sin (25 x) e g(x)=2 cos (25 x).
Em relação a essas funções, é correto afirmar:
a) Ambas funções têm amplitude igual a 25.
b) São funções periódicas de período 5 pi.
c) A função f(x) é ímpar, e a função g(x) é par.
d) A derivada de f(x) em relação a x resulta g(x).

Passo 1

Beleza, tamo com duas funções trigonométricas:
e .
O que a questão pergunta é qual das afirmativas (a), (b), © ou (d) tá certa.
Pra isso a gente vai usar conceitos de amplitude, período, paridade (função par/impar) e derivada de seno/cosseno.

Passo 2

Amplitude
  • Definição: se tu tem ou , a amplitude é .
  • Aqui, em o coeficiente do é , então amplitude de é .
  • Em o coeficiente do é , então amplitude de é .
    Logo a) (“ambas têm amplitude ”) tá errada.

Passo 3

Período
  • Pra T = 2pi2/5 = 2pi cdot 52 = 5pi ou , o período vale .
  • Aqui , então
Isso vale tanto pra quanto pra .
Logo b) (“período ”) está certa.

Passo 4

Paridade (função par ou ímpar)
  • Uma função f(-x)=3-5sin!l(-tfrac25 xr)=3+5sinl(tfrac25 xr)neq f(x) nem -f(x) é par se g(-x)=2cos!l(-tfrac25 xr)=2cosl(tfrac25 xr)=g(x), .
  • É ímpar se .
    Para :
Então não é nem par nem ímpar.
Para :
logo é par.
Assim c) (“ ímpar e par”) está errada.

Passo 5

Derivada de f'(x)=ddxl[3-5sin(tfrac25 x)r] =-5cdotddxsin(tfrac25 x) =-5cdotl(tfrac25cos(tfrac25 x)r) =-2cosl(tfrac25 xr)
  • Sabemos que .
  • Então
Mas , então , não .
Logo d) (“ ”) também está errada.

Resposta

A única afirmativa correta é a letra b.

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