A excentricidade da hipérbole de equação x^2-4 y^2-6 x-16 y-43=0 tem valor igual a
a) raiz5
b) 56
C) 53
d) raiz52

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado manda a gente achar a excentricidade da hipérbole dada pela equação
x^2-4y^2-6x-16y-43=0,
Isso é conteúdo de Conicidade (“Conicões”): aula de como identificar e pôr uma hipérbole na sua forma “padrão” pra poder ler os parâmetros (a, b, c) e daí achar a excentricidade . Para resolver isso, a gente vai precisar:
1) Completar quadrados em e pra achar o centro e a forma padrão.
2) Identificar e .
3) Lembrar que, para hipérbole, e a excentricidade é .

Passo 2

Primeiro, vamos completar quadrados em x^2 -6x -;4l(y^2+4yr);-;43 = 0 e em x^2 -6x = (x^2 -6x +9) -9 = (x-3)^2 -9 . Começando por agrupar termos:
y^2+4y = (y^2+4y+4)-4 = (y+2)^2 -4
Agora, em l((x-3)^2 -9r);-;4l((y+2)^2 -4r);-;43 = 0 , completamos:
(x-3)^2 -9 ;-;4(y+2)^2 +16 ;-;43 = 0 Longrightarrow (x-3)^2 -4(y+2)^2 ;+;(16-9-43) = 0
E em (x-3)^2 -4(y+2)^2 -36 = 0 Longrightarrow (x-3)^2 -4(y+2)^2 = 36 :
Substituindo de volta na equação:
Distribuindo o :
Calculando , fica

Passo 3

Para deixar na forma “padrão”, divide tudo por 36:
(x-3)^236;-;(y+2)^29;=;1
Aqui já dá pra ver:
  • c^2 = a^2 + b^2 = 36 + 9 = 45, c = raiz45 = 3raiz5 , logo e = ca = 3raiz56 = raiz52 .
  • , logo .
    Como é hipérbole no formato , sabemos que
E a excentricidade é

Resposta

A excentricidade da hipérbole é .

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