Seja
.
(a) Determine um intervalo contendo um zero de
;
(b) Usando o Método da Bissecção calcule quantas iterações são necessárias para determinar este zero com erro inferior a
;
(c) Faça 4 iterações.
(a) Determine um intervalo contendo um zero de
(b) Usando o Método da Bissecção calcule quantas iterações são necessárias para determinar este zero com erro inferior a
(c) Faça 4 iterações.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
(a) determinar um intervalo que contenha uma raiz (um zero) de ;
(b) usando o Método da Bissecção, calcular quantas iterações são necessárias para obter essa raiz com erro inferior a ;
(c) executar na prática 4 iterações do método.
(a) determinar um intervalo que contenha uma raiz (um zero) de
(b) usando o Método da Bissecção, calcular quantas iterações são necessárias para obter essa raiz com erro inferior a
(c) executar na prática 4 iterações do método.
Informações relevantes fornecidas/úteis que vou usar:
- A função é
. - Vou precisar verificar o sinal de
em pontos para encontrar um intervalo inicial com mudança de sinal (isso é a condição típica para aplicar a bissecção). - O erro pedido é
.
Passo 2
Primeiro vou encontrar um intervalo inicial
tal que
e
tenham sinais opostos — isso garante, pela continuidade de
, que existe pelo menos uma raiz em
.
Por que
é contínua? Porque
é contínua e
é contínua, e a diferença de funções contínuas é contínua. Assim vale o Teorema de Bolzano: se
então existe
com
.
Vou avaliar
em alguns pontos simples:
Observe que
e
. Portanto
, e por Bolzano existe pelo menos uma raiz em
.
Assim fica respondida a parte (a): um intervalo que contém um zero é
.
Passo 3
Agora explico a ideia do Método da Bissecção (passo-a-passo e fórmula do erro), para que você possa aplicar no exame.
Descrição do método (intuição):
- Começamos com um intervalo
onde sabemos que existe uma raiz (i.e. ). - Em cada iteração calculamos o ponto médio
e avaliamos . - Se
paramos; se não, substituímos o extremo cuja função tem o mesmo sinal de por , de modo que o novo intervalo ainda contenha a raiz e tenha metade do comprimento do anterior. - Repetimos: a cada iteração o comprimento do intervalo que sabemos conter a raiz é reduzido pela metade.
Fórmula do erro:
- Depois de
iterações o comprimento do intervalo que contém a raiz é . - Se tomarmos como aproximação o ponto médio desse intervalo, o erro máximo (distância entre essa aproximação e a raiz real) é no máximo metade do comprimento do intervalo anterior; na prática, a fórmula comumente usada para garantir erro
é
(Esta é a forma usada em provas e exercícios: dado
, escolhemos
tal que
.)
Passo 4
Aplicando a fórmula do passo anterior ao nosso caso:
- Intervalo inicial escolhido em (a):
, . Então . - Queremos erro
.
Exigimos
Isto equivale a
Tomando logaritmo na base
,
Calculando
:
Então precisamos de
inteiro tal que
, isto é
.
Portanto são necessárias
iterações para garantir erro inferior a
.
Passo 5
Agora faço as 4 iterações pedidas, mostrando passo a passo os cálculos numéricos e a lógica de escolha do subintervalo em cada iteração. Começo com
.
Iteração 1:
- Ponto médio
. - Avalio
. -
. -
. - Logo
-
- Como
e , a mudança de sinal está entre e . Atualizo o intervalo para
Iteração 2:
- Ponto médio
. - Avalio
. -
(ou usando ). -
. - Logo
-
- Agora
e , então a raiz está em
Iteração 3:
- Ponto médio
. - Avalio
. - Podemos usar
. -
. - Logo
- Podemos usar
- Como
e , a raiz fica em
Iteração 4:
- Ponto médio
. - Avalio
. -
(cálculo numérico aproximado). -
. - Logo
-
- Como
e , a raiz está no intervalo .
Resumo das 4 iterações feitas (pontos médios e sinais):
Após 4 iterações o intervalo que sabemos conter a raiz é
. Uma aproximação possível (o ponto médio do intervalo anterior usado na iteração 4) é
; se preferirmos tomar o ponto médio do intervalo atual usamos
.
Passo 6
Comentário final de incentivo (rápido): o método da bissecção é robusto e simples — ele garante redução do comprimento do intervalo pela metade a cada iteração. Em prova você só precisa identificar um intervalo inicial com mudança de sinal, aplicar a fórmula do número de iterações se pedirem erro, e depois executar as iterações pedidas com atenção às avaliações de
. Você está indo bem; continue praticando!
Resposta
(a)
\n
(b) iterações\n
(c) Após 4 iterações o intervalo contendo a raiz é ; uma das aproximações obtidas nas iterações foi
(o ponto médio do intervalo anterior).
(b)
(c) Após 4 iterações o intervalo contendo a raiz é