Seja f(x)=2^{x}-3 x^{2}.
(a) Determine um intervalo contendo um zero de f;
(b) Usando o Método da Bissecção calcule quantas iterações são necessárias para determinar este zero com erro inferior a 10^{-3};
(c) Faça 4 iterações.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2^{x}-3x^{2} e pede três coisas:
(a) determinar um intervalo que contenha uma raiz (um zero) de f;
(b) usando o Método da Bissecção, calcular quantas iterações são necessárias para obter essa raiz com erro inferior a 10^{-3};
(c) executar na prática 4 iterações do método.
Informações relevantes fornecidas/úteis que vou usar:
  • A função é f(x)=2^{x}-3x^{2}.
  • Vou precisar verificar o sinal de f em pontos para encontrar um intervalo inicial com mudança de sinal (isso é a condição típica para aplicar a bissecção).
  • O erro pedido é 10^{-3}.

Passo 2

Primeiro vou encontrar um intervalo inicial (a,b) tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos — isso garante, pela continuidade de f, que existe pelo menos uma raiz em (a,b).
Por que f é contínua? Porque x\mapsto 2^{x} é contínua e x\mapsto 3x^{2} é contínua, e a diferença de funções contínuas é contínua. Assim vale o Teorema de Bolzano: se f(a)\cdot f(b)<0 então existe c\in(a,b) com f\text{(c)}=0.
Vou avaliar f em alguns pontos simples:
f(0)=2^{0}-3\cdot 0^{2}=1.
f(1)=2^{1}-3\cdot 1^{2}=2-3=-1.
Observe que f(0)=1>0 e f(1)=-1<0. Portanto f(0)\cdot f(1)<0, e por Bolzano existe pelo menos uma raiz em (0,1).
Assim fica respondida a parte (a): um intervalo que contém um zero é (0,1).

Passo 3

Agora explico a ideia do Método da Bissecção (passo-a-passo e fórmula do erro), para que você possa aplicar no exame.
Descrição do método (intuição):
  • Começamos com um intervalo [a_{0},b_{0}] onde sabemos que existe uma raiz (i.e. f(a_{0})\cdot f(b_{0})<0).
  • Em cada iteração calculamos o ponto médio m=(a+b)/2 e avaliamos f(m).
  • Se f(m)=0 paramos; se não, substituímos o extremo cuja função tem o mesmo sinal de f(m) por m, de modo que o novo intervalo [a_{1},b_{1}] ainda contenha a raiz e tenha metade do comprimento do anterior.
  • Repetimos: a cada iteração o comprimento do intervalo que sabemos conter a raiz é reduzido pela metade.
Fórmula do erro:
  • Depois de n iterações o comprimento do intervalo que contém a raiz é \dfrac{b_{0}-a_{0}}{2^{n}}.
  • Se tomarmos como aproximação o ponto médio desse intervalo, o erro máximo (distância entre essa aproximação e a raiz real) é no máximo metade do comprimento do intervalo anterior; na prática, a fórmula comumente usada para garantir erro \le\varepsilon é
\frac{b_{0}-a_{0}}{2^{n}} \le \varepsilon.
(Esta é a forma usada em provas e exercícios: dado \varepsilon, escolhemos n tal que \dfrac{b_{0}-a_{0}}{2^{n}}\le\varepsilon.)

Passo 4

Aplicando a fórmula do passo anterior ao nosso caso:
  • Intervalo inicial escolhido em (a): a_{0}=0, b_{0}=1. Então b_{0}-a_{0}=1.
  • Queremos erro \varepsilon=10^{-3}.
Exigimos
\frac{1}{2^{n}}\le 10^{-3}.
Isto equivale a
2^{n}\ge 10^{3}=1000.
Tomando logaritmo na base 2,
n \ge \log_{2}(1000).
Calculando \log_{2}(1000):
\log_{2}(1000)=\frac{\ln(1000)}{\ln 2}\approx \frac{6,907755}{0,693147}=9,96578\ldots
Então precisamos de n inteiro tal que n\ge 9,96578\ldots, isto é n=\lceil 9,96578\ldots\rceil=10.
Portanto são necessárias 10 iterações para garantir erro inferior a 10^{-3}.

Passo 5

Agora faço as 4 iterações pedidas, mostrando passo a passo os cálculos numéricos e a lógica de escolha do subintervalo em cada iteração. Começo com [a_{0},b_{0}]=[0,1].
Iteração 1:
  • Ponto médio m_{1}=\dfrac{0+1}{2}=0,5.
  • Avalio f(0,5)=2^{0,5}-3(0,5)^{2}.
    • 2^{0,5}=\sqrt{2}\approx 1,414213562.
    • 3(0,5)^{2}=3\cdot 0,25=0,75.
    • Logo f(0,5)\approx 1,414213562-0,75=0,664213562>0.
  • Como f(0)=1>0 e f(0,5)>0, a mudança de sinal está entre 0,5 e 1. Atualizo o intervalo para
    [a_{1},b_{1}]=[0,5,\,1].
Iteração 2:
  • Ponto médio m_{2}=\dfrac{0,5+1}{2}=0,75.
  • Avalio f(0,75)=2^{0,75}-3(0,75)^{2}.
    • 2^{0,75}=2^{3/4}\approx 1,6817928305 (ou usando e^{0,75\ln 2}).
    • 3(0,75)^{2}=3\cdot 0,5625=1,6875.
    • Logo f(0,75)\approx 1,6817928305-1,6875=-0,0057071695<0.
  • Agora f(0,5)>0 e f(0,75)<0, então a raiz está em [a_{2},b_{2}]=[0,5,\,0,75].
Iteração 3:
  • Ponto médio m_{3}=\dfrac{0,5+0,75}{2}=0,625.
  • Avalio f(0,625)=2^{0,625}-3(0,625)^{2}.
    • Podemos usar 2^{0,625}=2^{5/8}=2^{1/2}\cdot 2^{1/8}\approx 1,542210825.
    • 3(0,625)^{2}=3\cdot 0,390625=1,171875.
    • Logo f(0,625)\approx 1,542210825-1,171875=0,370335825>0.
  • Como f(0,625)>0 e f(0,75)<0, a raiz fica em [a_{3},b_{3}]=[0,625,\,0,75].
Iteração 4:
  • Ponto médio m_{4}=\dfrac{0,625+0,75}{2}=0,6875.
  • Avalio f(0,6875)=2^{0,6875}-3(0,6875)^{2}.
    • 2^{0,6875}\approx e^{0,6875\ln 2}\approx 1,6099 (cálculo numérico aproximado).
    • 3(0,6875)^{2}=3\cdot 0,47265625=1,41796875.
    • Logo f(0,6875)\approx 1,6099-1,41796875\approx 0,19199>0.
  • Como f(0,6875)>0 e f(0,75)<0, a raiz está no intervalo [a_{4},b_{4}]=[0,6875,\,0,75].
Resumo das 4 iterações feitas (pontos médios e sinais):
  • m_{1}=0,5,\; f(m_{1})\approx 0,66421356>0.
  • m_{2}=0,75,\; f(m_{2})\approx -0,00570717<0.
  • m_{3}=0,625,\; f(m_{3})\approx 0,37033583>0.
  • m_{4}=0,6875,\; f(m_{4})\approx 0,19199>0.
Após 4 iterações o intervalo que sabemos conter a raiz é [0,6875,\,0,75]. Uma aproximação possível (o ponto médio do intervalo anterior usado na iteração 4) é m_{4}=0,6875; se preferirmos tomar o ponto médio do intervalo atual usamos (0,6875+0,75)/2=0,71875.

Passo 6

Comentário final de incentivo (rápido): o método da bissecção é robusto e simples — ele garante redução do comprimento do intervalo pela metade a cada iteração. Em prova você só precisa identificar um intervalo inicial com mudança de sinal, aplicar a fórmula do número de iterações se pedirem erro, e depois executar as iterações pedidas com atenção às avaliações de f. Você está indo bem; continue praticando!

Resposta

(a) (0,1)\n
(b) 10 iterações\n
(c) Após 4 iterações o intervalo contendo a raiz é [0,6875,\,0,75]; uma das aproximações obtidas nas iterações foi m_{4}=0,6875 (o ponto médio do intervalo anterior).

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