Encontre a(s) raiz(es) para uma tolerância de 10^-4 usando os métodos da bissecção, Newton e secante, no intervalo especificado:
f(x)=10 cos (x)+e^x+4, x>0.
Observação: verifique as condições de uso de cada método.

Passo 1

O exercício pede pra gente achar raízes de
f(x)=10cos(x)+e^x+4, x>0
com tolerância , usando três métodos numéricos: bissecção, Newton e secante.
Para isso, vamos precisar de:
- Continuidade de (pra bissecção).
- Avaliar e e descobrir se muda de sinal no intervalo (pra bissecção).
- A derivada (pra Newton).
- Dois chutes iniciais (pra secante).

Passo 2

Primeiro, vê se existe mesmo uma raiz em f(0)=10cos(0)+e^0+4=10cdot1+1+4=15>0.
  1. Calcula 10cos(x)>=-10, e^x+4>4: f(x)=10cos(x)+e^x+4>-10+4= -6
    2. Para , note que
    Logo
    Mas, na verdade, para todo , e os picos negativos de nunca chegam a anular essa parte crescente. Testando em alguns pontos (por exemplo ) sempre dá .
    Conclusão: não há mudança de sinal de em , e parece que é sempre positiva.

Passo 3

Para aplicar bissecção, precisaríamos de com .
Como vimos, para todo , não conseguimos achar que satisfaçam .
Portanto, não dá pra usar bissecção (não há intervalo de raiz).

Passo 4

O método de Newton usa a fórmula
xn+1=xn-f(xn)f'(xn),
onde
f'(x)=-10sin(x)+e^x
Mesmo escolhendo um chute , como e (pois domina ), a iteração tende a mandar para valores negativos ou muito distantes, sem convergir a uma raiz real em . Logo, Newton também não encontra solução.

Passo 5

A secante precisa de dois chutes iniciais xn+2=xn+1-f(xn+1)xn+1-xnf(xn+1)-f(xn) e atualiza por

Mas se em toda a região temos , o quociente de diferenças não leva a um zero de . As iterações simplesmente “escorregam” sem achar mudança de sinal. Então, secante também não dá raiz real.

Resposta

Não existem raízes reais de para . Todos os três métodos falham porque a função é sempre positiva e não muda de sinal nesse domínio.

Exercícios relacionados