Encontre a(s) raiz(es) para uma tolerância de
usando os métodos da bissecção, Newton e secante, no intervalo especificado:
.
Observação: verifique as condições de uso de cada método.
Observação: verifique as condições de uso de cada método.
Passo 1
Beleza, então o problema é achar a raiz da função
no intervalo
Conteúdo: métodos iterativos para encontrar raízes (teorema do valor intermediário, derivada, aproximação por reta).
O que precisamos:
- Saber que
- Derivada
- Dois pontos iniciais (
Passo 2
Método da bisseção
- Teoria: se
é contínua e , existe raiz em . A gente divide ao meio e escolhe o subintervalo onde o sinal muda. - Aplicação:
-
, ⇒ , . - Iteramos até
. - Precisamos de
tal que ⇒ ⇒ .
-
- Depois de ~14 divisões, a gente chega em
Passo 3
Método de Newton
- Teoria: a aproximação usa a reta tangente em
: Converge rápido se e for “bem comportada”. - Aqui
em , então tá tudo certo. - Escolhemos
. Iterando até : -
-
-
-
com diferença < .
-
- Resultado:
Passo 4
Método da secante
- Teoria: parecido com Newton mas sem derivada, usa dois pontos:
- Pegamos
, e iteramos até : -
, , , … - Em cerca de 7 iterações chega em
-
Resposta
Bisseção:
(14 iterações)
Newton: (4 iterações)
Secante: (7 iterações)
Newton:
Secante: