Encontre a(s) raiz(es) para uma tolerância de 10^-4 usando os métodos da bissecção, Newton e secante, no intervalo especificado:
x^3-2 x-1, 1 <= x <= 2.
Observação: verifique as condições de uso de cada método.

Passo 1

Beleza, então o problema é achar a raiz da função
f(x)=x^3-2x-1
no intervalo com tolerância , usando três métodos: bisseção, Newton e secante.
Conteúdo: métodos iterativos para encontrar raízes (teorema do valor intermediário, derivada, aproximação por reta).
O que precisamos:
- Saber que é contínua em e muda de sinal ( , ) => bisseção vale.
- Derivada para Newton e checar que não dá zero no intervalo.
- Dois pontos iniciais ( , ) para a secante.

Passo 2

Método da bisseção
  1. Teoria: se xbisectapprox1.6181 é contínua e , existe raiz em . A gente divide ao meio e escolhe o subintervalo onde o sinal muda.
  2. Aplicação:
    • , , .
    • Iteramos até .
    • Precisamos de tal que .
  3. Depois de ~14 divisões, a gente chega em

Passo 3

Método de Newton
  1. Teoria: a aproximação usa a reta tangente em xn+1=xn-f(xn)f'(xn): xNewtonapprox1.61839Converge rápido se e for “bem comportada”.
  2. Aqui em , então tá tudo certo.
  3. Escolhemos . Iterando até :
    • com diferença < .
  4. Resultado:

Passo 4

Método da secante
  1. Teoria: parecido com Newton mas sem derivada, usa dois pontos: xn+2=xn-f(xn),(xn+1-xn)f(xn+1)-f(xn)
  2. Pegamos xsecanteapprox1.61829, e iteramos até :
    • , , , …
    • Em cerca de 7 iterações chega em

Resposta

Bisseção: (14 iterações)
Newton: (4 iterações)
Secante: (7 iterações)

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