Exercício 7. Determine o polinômio P, de grau menor ou igual a 2, que passa por (0,1),(1,-1) e (4,1). Calcule P(3).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar um polinômio P, de grau menor ou igual a 2, que passa pelos pontos (0,1), (1,-1) e (4,1); e calcular P(3).
Informações dadas:
  • Pontos pelos quais o polinômio deve passar: (0,1), (1,-1), (4,1).
  • O grau de P satisfaz que \deg P \le 2 (logo podemos assumir um polinômio geral de grau 2 com coeficientes desconhecidos).

Passo 2

Modelo geral de um polinômio de grau menor ou igual a 2:
P(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a,b,c são coeficientes reais desconhecidos que precisamos determinar. Cada ponto (x_{0},y_{0}) fornece uma equação P(x_{0})=y_{0}. Assim teremos um sistema de três equações lineares em a,b,c.
Explicação curta do porquê: ao substituir o x de um ponto na expressão do polinômio, obtemos uma igualdade numérica envolvendo a,b,c. Com três pontos distintos obtemos três equações que permitem resolver os três incógnitas.

Passo 3

Usar o ponto (0,1). Substituindo x=0 em P(x)=ax^{2}+bx+c obtemos:
P(0)=a\cdot0^{2}+b\cdot0+c=c.
Como P(0)=1 (dado), temos a equação
c=1.

Passo 4

Usar o ponto (1,-1). Substituindo x=1 na expressão de P:
P(1)=a\cdot1^{2}+b\cdot1+c=a+b+c.
Como P(1)=-1, resulta
a+b+c=-1.
Agora substituímos c=1 (do passo anterior) para simplificar:
a+b+1=-1 \quad\Rightarrow\quad a+b=-2.

Passo 5

Usar o ponto (4,1). Substituindo x=4:
P(4)=a\cdot4^{2}+b\cdot4+c=16a+4b+c.
Como P(4)=1, temos
16a+4b+c=1.
Substituindo c=1:
16a+4b+1=1 \quad\Rightarrow\quad 16a+4b=0.
Dividindo por 4 para simplificar:
4a+b=0.

Passo 6

Agora resolvemos o sistema de duas equações em a\) e \(b\): \[\begin{cases} a+b=-2,\\[4pt] 4a+b=0. \end{cases}
Explicação do método: subtraindo a primeira equação da segunda eliminamos b\]. Fazendo \((4a+b)-(a+b)=0-(-2) obtemos uma equação só em a.
Realizando a subtração:
(4a+b)-(a+b)=3a=2 \quad\Rightarrow\quad 3a=2.
Logo
a=\frac{2}{3}.]

Passo 7

Com a=\dfrac{2}{3} usamos uma das equações para achar b. Da equação 4a+b=0:
b=-4a=-4\cdot\frac{2}{3}=-\frac{8}{3}.

Passo 8

Já temos a, b e c. Vamos escrever o polinômio P:
P(x)=\frac{2}{3}x^{2}-\frac{8}{3}x+1.
Comentário rápido: todos os coeficientes estão determinados e esse polinômio tem grau exatamente 2 (pois a\neq0).

Passo 9

Calcular P(3) substituindo x=3:
P(3)=\frac{2}{3}\cdot3^{2}-\frac{8}{3}\cdot3+1.
Fazendo as contas passo a passo:
\frac{2}{3}\cdot9=\frac{18}{3}=6, \qquad \frac{8}{3}\cdot3=\frac{24}{3}=8.
Portanto
P(3)=6-8+1=-1.

Resposta

P(x)=\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{8}{3}x+1
P(3)=-1

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