Exercício 7. Determine o polinômio
, de grau menor ou igual a 2, que passa por
e
. Calcule P(3).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar um polinômio
, de grau menor ou igual a 2, que passa pelos pontos
,
e
; e calcular
.
Informações dadas:
- Pontos pelos quais o polinômio deve passar:
, , . - O grau de
satisfaz que (logo podemos assumir um polinômio geral de grau 2 com coeficientes desconhecidos).
Passo 2
Modelo geral de um polinômio de grau menor ou igual a 2:
onde
são coeficientes reais desconhecidos que precisamos determinar. Cada ponto
fornece uma equação
. Assim teremos um sistema de três equações lineares em
.
Explicação curta do porquê: ao substituir o
de um ponto na expressão do polinômio, obtemos uma igualdade numérica envolvendo
. Com três pontos distintos obtemos três equações que permitem resolver os três incógnitas.
Passo 3
Usar o ponto
. Substituindo
em
obtemos:
Como
(dado), temos a equação
Passo 4
Usar o ponto
. Substituindo
na expressão de
:
Como
, resulta
Agora substituímos
(do passo anterior) para simplificar:
Passo 5
Usar o ponto
. Substituindo
:
Como
, temos
Substituindo
:
Dividindo por
para simplificar:
Passo 6
Agora resolvemos o sistema de duas equações em
Explicação do método: subtraindo a primeira equação da segunda eliminamos
obtemos uma equação só em
.
Realizando a subtração:
Logo
Passo 7
Com
usamos uma das equações para achar
. Da equação
:
Passo 8
Já temos
,
e
. Vamos escrever o polinômio
:
Comentário rápido: todos os coeficientes estão determinados e esse polinômio tem grau exatamente 2 (pois
).
Passo 9
Calcular
substituindo
:
Fazendo as contas passo a passo:
Portanto