Considere as funções f(x)=x^2+x-6
Utilize o MPF, com 5 iterações, g2(x) e x0=1,5 para determinar uma aproximação para o único zero positivo de f

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem a função
f(x)=x^2+x-6
e quer achar o único zero positivo dela (ou seja, o valor de tal que e ). O método pedido é o MPF (Método do Ponto Fixo) com a forma de iteração e começando em , fazendo 5 iterações. Para isso, precisamos:
1) Reescrever na forma .
2) Usar a regra de iteração .
3) Calcular passo a passo até .

Passo 2

A ideia do método de ponto fixo é achar uma função x^2 + x -6 =0 ;Longrightarrow; x^2 + x = 6 ;Longrightarrow; x=6x+1 tal que as soluções de g2(x)=6x+1 sejam também zeros de xn+1 ;=; g2(xn) ;=;6xn+1 . A gente sabe que
Então uma boa escolha (ela já foi nomeada de ) é
O esquema de iteração é
Para o método convergir, em geral a gente confere se perto da raiz, mas aqui o exercício só pede pra aplicar.

Passo 3

Agora vamos botar o pé na estrada e calcular cada iteração usando xn+1=6xn+1 .
Fórmula geral:

Passo 4

Calculemos:
  1. n=0 → n=1:
x1 = 61,5 + 1 = 62,5 = 2,4
  1. n=1 → n=2:
x2 = 62,4 + 1 = 63,4 approx 1,7647059
  1. n=2 → n=3:
x3 = 61,7647059 + 1 = 62,7647059 approx 2,1707317
  1. n=3 → n=4:
x4 = 62,1707317 + 1 = 63,1707317 approx 1,8924953
  1. n=4 → n=5:
x5 = 61,8924953 + 1 = 62,8924953 approx 2,0745624

Resposta

Aproximando com 5 iterações do MPF usando boxedx5 approx 2,07456 e , o zero positivo de fica, em cinco passos,

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